Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Első alkalom

A továbbiakban jelölje V = V_{1} ⊕ V_{2} azt a tényt, hogy a V vektortér a V_{1} és V_{2} altereinek a direkt összege. Többtagú összeg esetén használjuk a V = ⊕_{i}V_{i} jelölést. Ilyenkor v ∈ V -re v = v_{1} + v_{2}, ill. v = ∑_{i} v_{i}, ahol v_{i} ∈ V_{i}. Direkt szorzatra a V = V_{1} × V_{2}, ill. a V = ∏_{i} V_{i} jelöléseket használjuk. Ilyenkor v ∈ V -re v = (v_{1}, v_{2}), ill. v = (…, v_{i}, …), ahol v_{i} ∈ V_{i}. Az előző félévben beláttuk, hogy ha V vektortér és U ≤ V, akkor van olyan U′ ≤ V, hogy U ⊕ U′ = V (VIII/9b), és azt is, hogy ha α idempotens lineáris transzformáció a V vektortéren, akkor Im(α) ⊕ Ker(α) = V (IX/5).

1. Tegyük fel, hogy V = V_{1} ⊕ V_{2}.

a) Mutassuk meg, hogy dim V = dim V_{1} + dim V_{2}.

b) Igaz-e, hogy ha V = U_{1} ⊕ U_{2}, és V_{1} = U_{1}, akkor V_{2} = U_{2}? Hát az, hogy V_{2} ≃ U_{2}?

c) Mutassuk meg, hogy a π_{1} : v ↦ v_{1} és π_{2} : v ↦ v_{2} hozzárendelések lineáris leképezések, azaz π_{i} ∈ Hom(V, V). (A π_{i} leképezést nevezzük a V_{i} altérre való vetítésnek a V_{j} mentén, ahol i ≠ j és i, j ∈ {1, 2}.)

d) Igazoljuk, hogy hogy π_{1} és π_{2} idempotens transzformációk, és π_{1}π_{2} = π_{2}π_{1} = 0.

e) Mutassuk meg, hogy π_{1} + π_{2} = id_{V}.

f) Általánosítsuk a c), d), e) állításokat véges sok tagú direkt összegre.

2. Tegyük fel, hogy α ∈ Hom(V, V) idempotens, β ∈ Hom(V, V) tetszőleges. Mit jelentenek az α és a β transzformációkra nézve az alábbi összefüggések: αβ = β, βα = β, αβ = α, βα = α, αβ = 0. Mit jelentenek az előbbi összefüggések akkor, ha β is idempotens?

3. Mutassuk meg, hogy létezik egy ϕ : ⊕_{i}V_{i} → ∏_{i} V_{i} injektív homomorfizmus.

4. A valós számsorozatok V vektorterében legyen V_{i} azon (r_{1}, r_{2}, …, r_{n}, …) sorozatok halmaza, melyekre r_{j} = 0 minden j ≠ i-re.

a) Mutassuk meg, hogy V ≠ ⊕_{i}V_{i}.

b) Melyik U ≤ V altérre lesz U = ⊕_{i}V_{i}?

5. Legyenek G_{1}, …, G_{n} csoportok és G ezek direkt szorzata.

a) Mikor lesz G kommutatív?

a) Hogyan fejezhető ki G elemeinek rendje az elem komponenseinek rendjével?

6^{∗}. Előáll-e ℤ^{+} véges csoportok (esetleg végtelen sok tényezős) direkt szorzatának részcsoportjaként? Előáll-e így minden kommutatív csoport?

7. Állapítsuk meg, hogy gyűrűk direkt szorzata mikor lesz egységelemes, illetve test.

8. Állapítsuk meg a sík szokásos geometriai transzformációinak, illetve a deriválásnak, mint polinomokon értelmezett lineáris transzformációnak a sajátértékeit.

9. Bizonyítsuk be az alábbi deriválási szabályokat (polinomokra):

a) (x^{n})′ = nx^{n−1};

b) (f + g)′ = f′ + g′;

c) (fg)′ = f′g + fg′;

d) (f ∘ g)′ = (f′ ∘ g) · g′.