Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Második zárthelyi

A feladatokat külön lapra írjuk, és minden lapon legyen rajta olvashatóan a szerző és a gyakvezér neve. Az összesen 36 pontból 30 biztosan elég a jeleshez, 12 az elégségeshez, feltéve ha van lényegében megoldott feladat (azaz amelyik legalább 80%-ot kapott). Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. (12 pont) Legyen a_{0} = 3, a_{1} = 11 és a_{n+2} = 5a_{n+1} − 6a_{n}. Írjuk fel az ehhez a rekurzív sorozathoz tartozó mátrixot, diagonalizáljuk bázistranszformációval, számítsuk ki az n-edik hatványát, és adjunk ennek alapján explicit képletet a_{n} értékére.

2. (6 pont) Számítsuk ki a következő n × n-es determinánst:

| \begin{matrix}1 & 3 & 9 & … & 3^{n−2} & 3^{n−1} \\ −1 & 1 & 3 & … & 3^{n−3} & 3^{n−2} \\ 0 & −1 & 1 & … & 3^{n−4} & 3^{n−3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & … & −1 & 1 \end{matrix} |

3. (6 pont) Egy determinánsban tükrözzük az a_{f(1),1} … a_{f(n),n} kifejtési tagot a mellékátlóra. Határozzuk meg az így kapott új kifejtési taghoz tartozó permutáció előjelét.

4. (6 pont) Írjuk fel az (123456789) ciklust az S_{9} alkalmas ötödrendű elemeinek szorzataként.

5. (2+4 pont) Egy ℝ feletti, ötdimenziós vektortéren ható A lineáris transzformáció minimálpolinomja másodfokú. Mutassuk meg, hogy A-nak minden komplex sajátértéke valós, és hogy A-nak végtelen sok invariáns altere van.