Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Első zárthelyi

A feladatokat külön lapra írjuk, és minden lapon legyen rajta olvashatóan a szerző és a gyakvezér neve. Az összesen 36 pontból 30 biztosan elég a jeleshez, 12 az elégségeshez, feltéve ha van lényegében megoldott feladat (azaz amelyik legalább 5 pontot kapott). Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. (6 pont) Fogalmazzuk meg pontosan, hogy mit jelent, majd bizonyítsuk is be minden lépés esetében részletes indoklással, hogy két lineáris leképezés szorzata skalárszoros-tartó.

2. (6 pont) Legyen V a sík, mint ℝ feletti vektortér, és T az y = −x egyenesre való tükrözés. Írjuk fel T mátrixát az (1, 0), (1, 2) bázisban, és számítsuk ki a kapott mátrix ötödik hatványát.

3. (6 pont) Teljesül-e ⟨1, x, x^{2}⟩ ⊆ ⟨i + 2x, −x^{2} + 1, ix^{2} + 2x⟩ a ℂ feletti ℂ[x] vektortérben?

4. (6 pont) Számítsuk ki dim_{ℚ} ({p ∈ ℚ[x] | gr(p) ≤ 7 és p(2) = p(3)} ∪ {0}) értékét.

5. (6 pont) Legyen V egy 1998-dimenziós vektortér. Konstruáljunk olyan A ∈ Hom(V) lineáris transzformációt, melyre A^{2} = 0 de A ≠ 0.

6. (6 pont) Legyenek V és W vektorterek T fölött, v_{1}, …, v_{n} lineárisan független vektorok V -ben, és A ∈ Hom(V, W). Igaz-e, hogy Av_{1}, …, Av_{n} akkor és csak akkor független, ha ⟨v_{1}, …, v_{n}⟩ ∩ KerA = {0}?