Mat-tanári szak, első évfolyam, második félév Válaszok a vizsgakérdésekre (1999. február 5.)

2. a) Nem, például polinomok között az a = 1, b = x, c = x^{2}, d = x^{3}, e = x^{4}, f = 1 + x^{2} választás is jó. Sőt, a rang mindössze 4 is lehet, ha például e = x + x^{3}.

b) Ez például következik abból, hogy a valódi altér dimenziója kisebb, mint a tér dimenziója (1 pont), és egy nem nulla altér dimenziója pozitív egész (1 pont).

c) Igen, például azok a transzformációk jók lesznek, melyek mátrixában három darab 1-es és egy darab nulla szerepel.

3. a) 6 · 4 = 24 oszlop van, és 6 · 4^{2} = 96 sor, hiszen a Hom képzésekor a dimenziók összeszorzódnak.

b) 5. A feltételből következik, hogy a mag nem nulla (hiszen nem nulla vektor önmagában független, így képe sem nulla), tehát a dimenziótétel miatt a képtér 5 − 0 dimenziós.

c) A kísérő mátrix az egységmátrix ellentettje. Az új bázisban minden transzformáció mátrixa ugyanaz, mint a régiben.

d) Ez a lineáris transzformáció ellentettjének definíciója. A baloldali minusz Hom(V)- ben, a jobboldali V -ben értendő.

4. a) Mert ha egy mérték egy bázison nulla, akkor azonosan nulla.

b) 1, 1/2, 1/3 az inverz mátrix képlete miatt.

c) (14)(35), előjel +.

d) Igen, például 3x = 0, y + z = 0 ilyen egyenletrendszer.

5. a) Mivel a karakterisztikus polinom gyökei páronként különbözők, a Jordan-alak diagonális, a főátlóban a sajátértékek, vagyis az ε\sqrt[7]{2} számok vannak, ahol ε hetedik egységggyök.

b) Igen. A minimálpolinomja, m_{M}(x) legfeljebb másodfokú, és osztója (x − 1)^{4}(x − 2)^{4}- nek. Ezért m_{M}(x) = (x − 1)^{a}(x − 2)^{b}, ahol a + b ≤ 2. Ezért m_{M}(x) | (x − 1)^{2}(x − 2)^{2}.

c) Igen. Ha w ∈ Im(A−I), akkor w = Av−Iv alkalmas v-re. Ekkor Bw = BAv−BIv = A(Bv) − I(Bv) ∈ Im(A − I).

d) Nem, ez a halmaz nem zárt az összeadásra, például az egységmátrix is felírható n darab 1 rangú (egyetlenegy darab 1-est tartalmazó) mátrix összegeként.