Mat-tanári szak, első évfolyam, második félév Válaszok a vizsgakérdésekre (1999. január 26.)

2. b) Igen, ha v = αa + βb + γc + δd = λa + μd + νe, akkor nullára rendezve és a függetlenséget kihasználva β = γ = 0, vagyis v ∈ ⟨a, d⟩.

c) Kétdimenziós, ez mátrixokkal való számolással látszik. Vagy mondhatjuk azt is, hogy a dimenzió legalább kettő, hiszen A és A^{2} nem egymás skalárszorosai, viszont legfeljebb kettő, mert A, A^{2}, A^{3} összefügg: ha m_{A}(x) = x^{2} +rx+s, akkor nyilván A^{3} +rA^{2} +sA = 0. (A konkrét esetben A^{3} − A^{2} + A = 0).

3. a) A síkon a szokásos e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1) bázist használjuk. A Hom(V)-ben vegyük az ℝ^{2×2} szokásos M_{1}, …, M_{4} bázisának megfelelő B_{1}, …, B_{4} transzformációkat. Ekkor

[A(B_{1})]_{e} = [B_{1}(1, 2)]_{e} = [B_{1}]_{e/e}[(1, 2)]_{e} = M_{1}[(1, 2)]_{e} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) ,

ez lesz a keresett [A]_{e/B} első oszlopa. A végeredmény

( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

b) 2. Az A magtere nyilván a konstans polinomokból áll, és így a dimenziótétel miatt az eredmény 3−1 = 2. Ez megkapható úgy is, hogy felírjuk A mátrixát, vagy ha kiszámoljuk, hogy A képtere pontosan a legfeljebb elsőfokú polinomokból és a nullapolinomból áll.

c) Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele.

d) Nem. Ha λ = i, a = j, b = 1, akkor λ(ab) = a(λb) nem teljesül.

4. a) A bizonyítás azon múlik, hogy a nem nulla mértékek egymás skalárszorosai. b) Önmaga. Ez látszik mátrix-szorzással, a Gauss-eliminációs algoritmussal, vagy akár

az inverz mátrix képletéből is.

c) 1. A (−1)^{f(i)+i} számok összeszorzásakor a kitevőbe 2(1 + ⋯ + n) kerül, hiszen a sorindexek is és az oszlopindexek is az 1, 2, …, n egy permutációját alkotják.

d) Nem. Mivel a megoldás egyértelmű, ezért az egyenletrendszer mátrixának oszlopai a tanult tétel szerint függetlenek, és így a determinánsa nem nulla.

5. a) Ha például u = αv lenne, akkor Av = λv esetén a λ-hoz tartozó sajátaltérben benne lenne αv = u is, tehát u is a λ sajátértékhez tartozna (és így Au = μu ⟹ μ = λ).

b) Ha U és W is A-invariáns, és u ∈ U, w ∈ W, akkor A(u+w) = A(u)+A(w) ∈ U +W.

c) Nem, hanem az x. A nullapolinom csak akkor lehetne minimálpolinom, ha a transzformáció a nullán kívül semmilyen más polinomnak nem lenne gyöke.

d) Igen. Ilyenkor ugyanis a minimálpolinomnak van többszörös gyöke, tehát legalább másodfokú, és osztója a másodfokú karakterisztikus polinomnak. Tehát a polinomok asszociáltak, és mivel mindkét főegyüttható 1, a két polinom egyenlő.