Mat-tanári szak, első évfolyam, második félév Válaszok a vizsgakérdésekre (1999. január 12.)

2. a) A dimenzió nyolcnál kisebb, mert a nyolcelemű összefüggő generátorrendszerből elhagyható egy elem úgy, hogy generátorrendszer maradjon. Hétnél nagyobb, mert hétdimenziós térben minden hételemű független rendszer bázis. Tehát egyetlen dimenzióérték sem jön szóba, nincs ilyen vektortér.

b) Igaz. A metszet nulla, mert ha a = λu + μ(u + v + w) = ν(u + w), akkor innen átrendezve (λ + μ − ν)u + μv + (μ − ν)w = 0, és mivel u, v, w független, az együtthatók nullák, ahonnan λ = μ = ν = 0, és így tényleg a = 0. A két altér összege viszont az egész tér, mert tartalmazza az u = u + 0, v = (u + v + w) − (u + w) és a w = −u + (u + w) vektorokat, vagyis egy generátorrendszert.

c) Kétdimenziósat, hiszen egyik megadott transzformáció sem skalárszorosa a másiknak.

3. a) Az [Av] = [A][v] összefüggést alkalmazva (ahol v az egységmátrix),

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) ,

ezért az eredmény ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ).

b) Igen. Legyen A : V → W. Ha egy G generátorrendszer képe egy H generátorrendszer, akkor A szürjektív. Valóban, tetszőleges w ∈ W felírható H elemeinek lineáris kombinációjaként: w = λ_{1}h_{1}+⋯+λ_{k}h_{k}, és mivel G képe H, van olyan g_{i}, hogy A(g_{i}) = h_{i} (1 ≤ i ≤ k), innen pedig A(λ_{1}g_{1} + ⋯ + λ_{k}g_{k}) = w. Ha viszont A szürjektív, és G′ generátorrendszer V -ben, akkor G′ képe is generátorrendszer. Valóban, ha w ∈ W, akkor van olyan v, hogy A(v) = w, ekkor v felírható G′-beli elemek lineáris kombinációjaként, és A-t alkalmazva w kívánt felírását kapjuk.

c) Nyilván A : Hom(V) → V. Az előírhatósági tételt V -re alkalmazva látjuk, hogy B(1, 1, 1) a V tetszőleges eleme lehet, ha B befutja Hom(V)-t. Ezért ImA = V, ami háromdimenziós. Mivel Hom(V) dimenziója 9, a dimenziótétel miatt az eredmény 9−3 = 6.

d) Összeadásra és skalárral szorzásra vektortér, összeadásra és szorzásra gyűrű, és még igaz, hogy λ(ab) = (λa)b = a(λb), ahol a, b az algebra elemei, és λ skalár.

4. b) A megfelelő permutáció (154)(23), az előjel −.

c) Igen, például ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) determinánsa páros, de nem nulla.

5. a) Nem. A sajátértékek, a determináns független a bázistól, és az adott két transzformációnál ezek nem egyeznek, például forgatás determinánsa 1, tengelyes tükrözésé −1.

b) Igen, hiszen ekkor a sajátvektorok generálják a teret. De minden generátorrendszer tartalmaz bázist, ami tehát sajátvektorokból áll. Ebben a bázisban a mátrix diagonális.

c) A főátlóban két egyenlő szám (a sajátérték), felette 0, alatta 1.

d) Igen. Ha A ∈ Hom(V), akkor A akkor és csak akkor nullosztó Hom(V)-ben, ha KerA ≠ {0}, azaz ha a nulla sajátérték, azaz ha a minimálpolinomnak gyöke a nulla.