Mat-tanári szak, második évfolyam, első félév Vizsgadolgozat — 1999. február 5.

Minden kérdéscsoportot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Aki felírja az email címét is, annak a javító igyekszik mihamarabb az eredményét emailben elküldeni. Eredményhirdetés: a vizsga napján, délután, Kiss Emil szobájában (Rákóczi út 5, második emelet 216).

Valamennyi megoldásban indoklás (azaz bizonyítás vagy ellenpélda) szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. A kétpontos kérdésekre a válasz általában mindössze egy-két sor, ami sokszor csak egy hivatkozás egy tételre (ez lehet olyan is, amit az előadáson nem bizonyítottunk) vagy egy definícióra. Ne keressünk hosszú, vagy trükkös megoldásokat. A két pont a teljesen helyes és precíz válaszért jár. Aki hibázik, de a lényeget látja, az egy pontot kap, ha a lényeg hiányzik, nulla pontot.

A vizsgán az átmenés szükséges és elégséges feltétele: Lényegében helyesen (azaz apróbb hibáktól eltekintve) le kell írni az első feladatban a bizonyítást, ÉS meg kell szerezni a dolgozat összpontszámának felét. Jeles az összpontszám 80 százalékáért jár (ha megvan a bizonyítás is).

1. (10 pont)

Definiáljuk a permutációk előjelének fogalmát (2 pont), és bizonyítsuk be (6 pont, hibánként egy pont levonás) a transzponált mátrix determinánsáról szóló tételt. Bizonyítsuk be továbbá a Vandermondedetermináns kifejtéséről szóló tételt (2 pont, aki ezt a részt nem tudja, azért nem jár bukás).

2 Mat-tanári vizsga (második évfolyam első félév) — 1999. február 5.

2. (2+2+2=6 pont)

a) Egy vektortérben a kétdimenziós V_{1} = ⟨a, b⟩, V_{2} = ⟨c, d⟩ és V_{3} = ⟨e, f⟩ alterek közül bármely kettő metszete csak a nullvektorból áll. Következik-e ebből, hogy {a, b, c, d, e, f} független rendszer?

b) Mutassuk meg, hogy egydimenziós vektortérnek csak két altere van.

c) A sík lineáris transzformációinak ℝ feletti vektortere generálható-e véges sok invertálható transzformációval?

3. (2+2+2+2=8 pont)

a) Legyen A ∈ Hom(Hom(V, W), Hom(V, Hom(W))), ahol V hatdimenziós és W négydimenziós vektortér. Hányszor hányas A mátrixa?

b) Egy ötdimenziós téren értelmezett lineáris leképezés minden független rendszert független rendszerbe visz. Mennyi a rangja?

c) Egy vektortérben egy bázis minden elemének vesszük az ellentettjét. Mi lesz az ehhez a bázistranszformációhoz tartozó kísérő mátrix, és hogyan változnak a lineáris transzformációk mátrixai?

d) Ha A ∈ Hom(V), akkor a (−A)(v) = −(A(v)) összefüggésben melyik minusz jel melyik struktúrában értendő? Mit fejez ki ez az összefüggés?

4. (2+2+2+2=8 pont)

a) Miért igaz az, hogy ha egy determináns nulla, akkor az oszlopai lineárisan összefüggenek?

b) Egy háromszor hármas M mátrix főátlójában az 1, 2, 3 számok állnak, felette nulla. Mik állnak M^{−1} főátlójában?

c) Adjuk meg az (12345)^{−1}(234)(135)^{−1} permutáció diszjunkt ciklusokra való felbontását és előjelét.

d) Egy egész együtthatós, homogén lineáris egyenletrendszernek ℤ_{2} felett két megoldása van. Lehet-e ℤ_{3} felett (pontosan) 9 megoldása?

5. (2+2+2+2=8 pont)

a) Egy ℚ feletti lineáris transzformáció karakterisztikus polinomja x^{7} − 2. Mi a Jordan-alakja?

b) Az M kétszer kettes valós mátrix gyöke az (x−1)^{4}(x−2)^{4} polinomnak. Gyöke-e akkor az (x − 1)^{2}(x − 2)^{2} polinomnak is?

c) Tegyük fel, hogy az A és B lineáris transzformációkra AB = BA. Következik-e ebből, hogy az Im(A − I) altér B-invariáns?

d) Ideált alkotnak-e az n × n-es mátrixok között azok, melyek rangja kisebb, mint n?