Mat-tanári szak, második évfolyam, első félév Vizsgadolgozat — 1999. január 26.

Minden kérdéscsoportot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Aki felírja az email címét is, annak a javító igyekszik mihamarabb az eredményét emailben elküldeni. Eredményhirdetés: január 29 (péntek), reggel 12, Kiss Emil szobájában (Rákóczi út 5, második emelet 216).

Valamennyi megoldásban indoklás (azaz bizonyítás vagy ellenpélda) szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. A kétpontos kérdésekre a válasz általában mindössze egy-két sor, ami sokszor csak egy hivatkozás egy tételre (ez lehet olyan is, amit az előadáson nem bizonyítottunk) vagy egy definícióra. Ne keressünk hosszú, vagy trükkös megoldásokat. A két pont a teljesen helyes és precíz válaszért jár. Aki hibázik, de a lényeget látja, az egy pontot kap, ha a lényeg hiányzik, nulla pontot.

A vizsgán az átmenés szükséges és elégséges feltétele: Lényegében helyesen (azaz apróbb hibáktól eltekintve) le kell írni az első feladatban a bizonyítást, ÉS meg kell szerezni a dolgozat összpontszámának felét. Jeles az összpontszám 80 százalékáért jár (ha megvan a bizonyítás is).

1. (10 pont)

Mondjuk ki (1 pont), és bizonyítsuk is be (6 pont, hibánként egy pont levonás) a generátorrendszerek és a független rendszerek elemszámát összehasonlító tételt. Bizonyítsuk be továbbá precízen azt, hogy véges dimenziós tér valódi alterének dimenziója kisebb, mint a tér dimenziója (3 pont, aki ezt a részt nem tudja, azért nem jár bukás).

2 Mat-tanári vizsga (második évfolyam első félév) — 1999. január 26.

2. (2+2+2=6 pont)

a) Bizonyítsuk be, hogy euklideszi gyűrűben minden ideál főideál.

b) Igaz-e hogy ⟨a, b, c, d⟩ ∩ ⟨a, d, e⟩ ⊆ ⟨a, d⟩, ha {a, b, c, d, e} független?

c) Legyen A az origó körüli +60 fokos forgatás. Hánydimenziós a sík lineáris transzformációinak ℝ feletti vektorterében az ⟨A, A^{2}, A^{3}⟩ altér?

3. (2+2+2+2=8 pont)

a) Legyen V a sík, mint ℝ feletti vektortér, és A az a leképezés, ami tetszőleges B ∈ Hom(V)-hez B(1,2)-t rendeli. Írjuk fel A mátrixát.

b) Legyen V a ℚ[x] legfeljebb másodfokú elemeiből és a nullapolinomból álló ℚ feletti vektortér, és p ∈ V esetén A(p) = p′ − p′′ (ahol a vessző deriváltat jelöl). Határozzuk meg A rangját.

c) Fogalmazzuk meg pontosan azt a tételt, amiből következik, hogy minden mátrixhoz tartozik lineáris leképezés.

d) Algebrát alkotnak-e a kvaterniók ℂ felett a szokásos műveletekre? (A skalárral szorzás kiszámításakor ℂ elemeit is kvaternióknak képzeljük).

4. (2+2+2+2=8 pont)

a) Bizonyítsuk be, hogy a lineáris transzformációk determinánsa a (definícióban választott) mértéktől független.

b) Írjuk fel annak a 6 × 6-os mátrixnak az inverzét, aminek a mellékátlójában csupa 1, másutt csupa nulla szerepel.

c) Pistike úgy próbálta kiszámítani egy n × n-es determináns kifejtési tagjainak az előjelét, hogy a tényezőket a sakktáblaszabály szerint beelőjelezte, és a kapott előjeleket összeszorozta. Mi jött ki?

d) Tegyük fel, hogy egy lineáris egyenletrendszerben az egyenletek és az ismeretlenek száma ugyanaz, és pontosan egy megoldás van. Előfordulhat-e, hogy a Cramer-szabály mégsem alkalmazható?

5. (2+2+2+2=8 pont)

a) Bizonyítsuk be, hogy két különböző sajátértékhez tartozó sajátvektor mindig független.

b) Igazoljuk, hogy két invariáns altér összege is invariáns.

c) A nullatranszformációnak a nullapolinom-e a minimálpolinomja?

d) Igaz-e, hogy ha egy ℂ feletti kétdimenziós téren ható transzformáció nem diagonalizálható, akkor karakterisztikus polinomja és minimálpolinomja megegyezik?