Mat-tanári szak, második évfolyam, első félév Vizsgadolgozat — 1999. január 12.

Minden kérdéscsoportot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Aki felírja az email címét is, annak a javító igyekszik mihamarabb az eredményét emailben elküldeni. Eredményhirdetés: január 15 (péntek), reggel 12, Kiss Emil szobájában (Rákóczi út 5, második emelet 216).

Valamennyi megoldásban indoklás (azaz bizonyítás vagy ellenpélda) szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. A kétpontos kérdésekre a válasz általában mindössze egy-két sor, ami sokszor csak egy hivatkozás egy tételre (ez lehet olyan is, amit az előadáson nem bizonyítottunk) vagy egy definícióra. Ne keressünk hosszú, vagy trükkös megoldásokat. A két pont a teljesen helyes és precíz válaszért jár. Aki hibázik, de a lényeget látja, az egy pontot kap, ha a lényeg hiányzik, nulla pontot.

A vizsgán az átmenés szükséges és elégséges feltétele: Lényegében helyesen (azaz apróbb hibáktól eltekintve) le kell írni az első feladatban a bizonyítást, ÉS meg kell szerezni a dolgozat összpontszámának felét. Jeles az összpontszám 80 százalékáért jár (ha megvan a bizonyítás is).

1. (10 pont)

Mondjuk ki (2 pont), és bizonyítsuk is be (6 pont) azt a lemmát, ami a minimálpolinom két tényezőre való felbontásának segítségével a tér direkt összegre való felbontását adja meg. Mondjuk ki precízen azt a tételt is, aminek bizonyításában ezt a lemmát alkalmaztuk (2 pont).

2 Mat-tanári vizsga (második évfolyam első félév) — 1999. január 12.

2. (2+2+2=6 pont)

a) Ha egy vektortérben van egy nyolcelemű összefüggő generátorrendszer, és egy hételemű független halmaz, ami nem generátorrendszer, mik a dimenzió lehetséges értékei?

b) Legyen {u, v, w} bázis egy V vektortérben. Igaz-e mindig, hogy V = ⟨u, u + v + w⟩ ⊕ ⟨u + w⟩?

c) Hánydimenziós alteret generál a sík lineáris transzformációinak ℝ feletti vektorterében az origóra illetve az x-tengelyre tükrözés együtt?

3. (2+2+2+2=8 pont)

a) Legyen A az a lineáris transzformáció az ℝ feletti ℝ^{2×2} vektortéren, aminek mátrixa a szokásos bázisban a bal felső sarokban 1-est, a többi helyen nullát tartalmaz. Hová képzi A az egységmátrixot?

b) Ha egy lineáris leképezés egy alkalmas generátorrendszert generátorrendszerbe visz, következik-e ebből, hogy minden generátorrendszert generátorrendszerbe visz?

c) Legyen V a tér, mint ℝ feletti vektortér, és A az a leképezés, ami tetszőleges B ∈ Hom(V)-hez B(1,1,1)-et rendeli. Hánydimenziós KerA?

d) Pistike tudja, mi az a vektortér és a gyűrű. Magyarázzuk el neki az algebra fogalmát.

4. (2+2+2+2=8 pont)

a) Bizonyítsuk be, hogy az előjeles mérték bármely két változó cseréjénél előjelet vált.

b) Adjuk meg az ((a_{ij})) mátrix determinánsában az a_{32}a_{45}a_{23}a_{14}a_{51} kifejtési tag előjelét.

c) Van-e olyan, a 0 és 1 számokból épített mátrix, aminek a rangja ℝ felett három, ℤ_{2} felett ennél kevesebb?

d) Hogyan jellemezhető egy lineáris egyenletrendszer megoldásának egyértelműsége a rang segítségével?

5. (2+2+2+2=8 pont)

a) A sík egy bázisában felírjuk az x-tengelyre tükrözés mátrixát, egy másikban a +60 fokos forgatás mátrixát. Lehet-e ugyanaz az eredmény?

b) Diagonalizálható-e minden olyan (véges dimenziós téren értelmezett) transzformáció, amelyre igaz, hogy sajátaltereinek összege az egész tér?

c) Hogy néz ki egy nem diagonalizálható 2 × 2-es mátrix Jordan-alakja?

d) Egy véges dimenziós téren értelmezett A lineáris transzformáció minimálpolinomjának ismeretében el lehet-e dönteni, hogy A nullosztó-e?