Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Nyolcadik alkalom

1. Számítsuk ki a VII/5. feladat permutációnak inverziószámát, és előjelét. Számítsuk ki a VII/6. feladat permutációinak előjelét is.

2. Az ((a_{ij})) négyszer négyes mátrix determinánsának kiszámításakor mi lesz az alábbi tagok előjele: a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}, a_{13}a_{34}a_{41}a_{22}, a_{22}a_{41}a_{34}a_{13}?

3. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat a definíció alapján és Gauss-eliminációval is.

| \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} |  | \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} |  | \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} |

4. Legyen T test, A ∈ T^{k×k}, B ∈ T^{m×m}, X ∈ T^{k×m} és O az m × k-s nullmátrix. Rakjuk össze az M mátrixot ebből a négy blokkból a következőképpen:

M = ( \begin{matrix}A & X \\ O & B \end{matrix} )

Igazoljuk, hogy det(M) = det(A) det(B).

5. Az előző feladatból kiindulva igazoljuk, hogy ha egy determináns főátlója alatt csupa nulla áll, akkor a determináns értéke a főátlóbeli elemek szorzata. Igazoljuk azt is, hogy ha egy négyzetes mátrix determinánsa nem nulla, akkor Gauss-eliminációval mindig ilyen alakra hozható.

6. Igazoljuk, hogy ha egy n × n-es mátrixban van egy m × k-as téglalap csupa nullákból, és m + k > n, akkor a mátrix determinánsa nulla.

További gyakorló feladatok

7. Egy determináns minden sora számtani sorozat. Számítsuk ki a determinánst.

8. Egy determinánsban minden oszlopösszeg osztható héttel. Igazoljuk, hogy a determináns értéke is osztható héttel.

9^{∗}. Ismeretes a következő játék. Egy négy egység oldalú négyzetben 15 egységnégyzet helyezkedik el, ezekre rendre az 1 − 15 számok vannak írva. A tizenhatodik négyzet helye üres. A kis négyzetek mozgathatók vízszintesen és függőlegesen: az üres négyzet helyére bármelyik (él)szomszédja betolható. A játék célja (a Rubik-kockához hasonlóan) az, hogy egy véletlenszerűen összekevert állapotból visszaállítsuk az alapsorrendet, azaz azt, amelyben a számok sorfolytonosan, emelkedő sorrendben követik egymást, és az üres négyzet a legalsó sor jobb oldalán van.

Bizonyítsuk be, hogy ez a visszaállítás nem lehetséges abból a helyzetből kiindulva, amely az alapsorrendtől csak abban tér el, hogy a 14-es és 15-ös számú négyzetet megcseréljük (az üres négyzet helye is ugyanaz).

10. Bizonyítsuk be, hogy az A_{n} alternáló csoport minden eleme előáll hármasciklusok szorzataként.