Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Hetedik alkalom

Az M négyzetes mátrix inverzének kiszámításához írjuk M mellé jobbról a megfelelő méretű egységmátrixot. A kapott dupla széles mátrixra végezzük a Gauss-eliminációt úgy, hogy vezéregyes kizárólag a baloldali félben keletkezzen. Ha a baloldali mátrix valamelyik sora csupa nulla lesz, akkor M nem invertálható. Ha nem, akkor esetleges sorcserék után a baloldali mátrixból egységmátrix lesz. Ekkor a jobboldali mátrix az M keresett inverze.

1. Invertáljuk Gauss-elimináció segítségével az alábbi mátrixokat. Ellenőrizzük szorzással a kapott eredményeket. Az utolsó két invertálás házi feladat.

( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )  ( \begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ 1 & −1 & 0 \\ −1 & 2 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & −3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

2. Egy transzformáció mátrixa a sík szokásos bázisában ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ). Adjuk meg a bá-

zistranszformáció képletét felhasználva ennek a transzformációnak a mátrixát az (1, 1), (1, 2) bázisban.

3. Melyek azok a lineáris transzformációk egy véges dimenziós vektortéren, melyeknek minden bázisban ugyanaz a mátrixa?

4. Páratlanországban mindenki páratlan sok embernek küldött karácsonyi ajándékot. Bárhogy is választunk ki két embert, azok száma, akiknek ők mindketten küldtek ajándékot, páros. Mutassuk meg, hogy mindenki páratlan számú ajándékot kapott.

5. Adjuk meg az alábbi permutációk ciklusfelbontását és rendjét. Tegyük meg ugyanezt a ‘hátulról előre’ permutációval is.

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 6 & 1 & 4 & 3 & 8 & 7 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 7 & 6 & 4 & 8 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b & c & d & e \\ c & a & e & b & d \end{matrix} )

6. Végezzük el az alábbi műveleteket (és adjuk meg az eredmény ciklusfelbontását).

(1234)(35)(1432)(35) =? (12345)^{−1}(234)(12345) =? [(12)(23)(34)]^{1998} =?

7. Bizonyítsuk be az (x_{1}x_{2} … x_{k}) = (x_{1}x_{k})(x_{1}x_{k−1}) … (x_{1}x_{3})(x_{1}x_{2}) összefüggést. Igazoljuk, hogy S_{n} minden eleme előáll legfeljebb n − 1 darab transzpozíció (=2 hosszú ciklus) szorzataként.

8. Bizonyítsuk be, hogy az S_{n} csoport minden eleme felírható egy olyan soktényezős szorzat alakjában, melynek minden tényezője (12) vagy (12 … n).

9. Adjuk meg S_{n} összes olyan elemét, mely felcserélhető az (1, 2, …, n) ciklussal.

10^{∗}. Legyenek f, g, h elemei az S_{n} csoportnak.

a) Mutassuk meg, hogy g és f^{−1}gf diszjunkt ciklusokra való felbontásakor ugyanannyi, ugyanakkora hosszúságú ciklus keletkezik.

b) Bizonyítsuk be, hogy ha g és h diszjunkt ciklusokra való felbontásakor ugyanannyi, ugyanakkora hosszúságú ciklus keletkezik, akkor van olyan f, hogy h = f^{−1}gf.