Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Hatodik alkalom

1. Legyen V véges dimenziós vektortér, és U, W alterek V -ben. Bizonyítsuk be, hogy dim(U + W) = dim(U) + dim(W) − dim(U ∩ W).

2. Egy tízdimenziós térben kiválasztunk három kilencdimenziós alteret. Mekkora lehet a metszetük dimenziója? Adjunk példát minden lehetséges értékre.

3. Mutassuk meg, hogy n ≥ 2 esetén minden ℝ feletti n-dimenziós vektortérnek végtelen sok n − 1-dimenziós altere van (érdemes először konkrét példákon kísérletezni).

4. Mutassuk meg, hogy ha U, V, W alterek egy vektortérben és U ⊇ V, akkor fennáll az úgynevezett moduláris összefüggés: U ∩ (W + V) = (U ∩ W) + V.

5. Legyenek v_{1}, …, v_{n} vektorok egy V vektortérben. Ha a v_{i} + v_{j} (1 ≤ i < j ≤ n) vektorok rendszere lineárisan független, mennyi lehet n?

6. A III/4. feladat lineáris leképezéseinek határozzuk meg a kép- és magterét, és ellenőrizzük a dimenziótétel állítását.

7. Alteret alkotnak-e a sík lineáris transzformációinak vektorterében azok a leképezések, melyek az y = x egyenest az x-tengely egy részhalmazába képzik?

8. Legyen A : V_{1} → V_{2} lineáris leképezés. Melyek igazak az alábbi állítások közül? a) A szürjektív ⟺ tetszőleges generátorrendszert generátorrendszerbe visz.

b) A szürjektív ⟺ alkalmas generátorrendszert generátorrendszerbe visz.

c) A injektív ⟺ alkalmas független rendszert független rendszerbe visz.

d) A injektív ⟺ alkalmas bázist független rendszerbe visz.

e) A bijektív ⟺ minden bázist bázisba visz.

9. Legyen W a V véges dimenziós vektortér tetszőleges altere. Bizonyítsuk be, hogy V -nek létezik olyan lineáris transzformációja, amelynek W a magtere, illetve a képtere.

10. Legyen V véges dimenziós vektortér, A : V → V pedig egy lineáris transzformáció. Ha Im(A^{2}) = Im(A), következik-e ebből, hogy Ker(A^{2}) = Ker(A)? Igaz-e a megfordítás?

11. Mutassuk meg, hogy egy lineáris leképezés akkor és csak akkor kölcsönösen egyértelmű, ha alkalmas bázispárban mátrixa az egységmátrix.

12. Ha egy lineáris transzformáció mátrixa egy adott bázisban M, mi lesz a mátrix akkor, ha mindegyik bázisvektort (csak az első bázisvektort) a kétszeresére növeljük? A sík mely lineáris transzformációinak lesz minden bázisban ugyanaz a mátrixa?

13. Adjunk meg olyan lineáris leképezést, aminek van balinverze, de nincs jobbinverze, és olyat is, aminek van jobbinverze, de nincs balinverze.

14. Adjunk meg olyan A és B lineáris transzformációkat egy végtelen dimenziós V vektortéren, melyekre AB = I (az identitás), de BA nem az.

15. Mutassuk meg, hogy (véges dimenzió esetén) minden A lineáris leképezéshez van olyan B lineáris leképezés, melyre ABA = A és BAB = B.

További gyakorlásul a Freud-könyv negyedik és ötödik fejezetének feladatait javaslom. Lineáris leképezésekhez különösen ajánlott: 5.1.15, 5.3.4, 5.4.1, 5.4.3, 5.5.1, 5.5.3, 5.7.8.