Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Ötödik alkalom

1. Lineárisan függetlenek-e az alábbi vektorrendszerek?

a) Az ℝ feletti ℝ^{3} vektortérben az alábbi mátrixok oszlopvektorai.

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

b) Az ℝ feletti ℝ[x] vektortérben {1, x, x^{2}}, {x, 2x, x^{2}, x^{3}}, {1 + x, 1 + 2x, 1 + 3x}, {1 + x, 1 + x^{2}, x + x^{2}}.

c) Az ℝ feletti ℂ vektortérben tetszőleges három komplex szám.

2. Az alábbi állítások közül melyek igazak?

a) Ha egy vektorrendszerben szerepel a nullvektor, akkor az nem lehet független.

b) Az egy vektorból álló rendszer mindig független.

c) Ha {v_{1}, v_{2}, v_{3}} független, akkor tetszőleges v-re {v_{1} + v, v_{2} + v, v_{3} + v} is független.

d) Ha {v_{1}, v_{2}, v_{3}} független, akkor {v_{1} + v_{2}, v_{2}, v_{3}} is független.

3. Igazoljuk az alábbiakat (emlékeztető: Y akkor és csak akkor függ X-től, ha Y ⊆ ⟨X⟩). a) Egy rendszer akkor és csak akkor független, ha egyik eleme sem függ a többitől.

b) X ⊆ Y ⟹ ⟨X⟩ ⊆ ⟨Y ⟩.

c) Generátorrendszert bárhogyan kibővítve generátorrendszert kapunk.

d) Ha X ⊆ X′ és Y függ X-től, akkor Y függ X′-től.

e) Független rendszer részrendszere is független.

f) Ha Z függ Y -tól és Y függ X-től, akkor Z függ X-től (azaz a függés tranzitív).

g) Kicserélési tulajdonság: ha F független, és függ G-től, akkor minden f ∈ F -hez van olyan g ∈ G, hogy az (F − {f}) ∪ {g} rendszer is független (speciálisan tehát g ∉ F − {f}). Vezessük le innen, hogy |F | ≤ |G|.

4. Az alábbi állítások közül melyek igazak egy n-dimenziós V vektortérben? a) Ha F független is és generátorrendszer is, akkor F maximális független részhalmaz.

b) Ha F maximális független, akkor generátorrendszer.

c) Ha G minimális generátorrendszer, akkor független.

d) Bármely két generátorrendszer egyenlő elemszámú.

e) Bármely két minimális generátorrendszer egyenlő elemszámú.

f) Ha F elemszáma n, és független, akkor generátorrendszer is.

g) Ha G elemszáma n, és generátorrendszer, akkor független is.

h) Bármely n elemű részhalmaz generátorrendszer.

i) Van olyan n + 1 elemű részhalmaz, ami generátorrendszer.

5. Határozzuk meg az alábbi vektorterek dimenzióját.

a) A legfeljebb n-edfokú ℂ feletti polinomok ℝ felett.

b) Azon legfeljebb n-edfokú ℚ feletti polinomok ℚ felett, melyeknek 2 gyöke.

c) Az _{ℝ}ℝ^{n} azon elemei, melyekben az első koordináta és a koordináták összege is nulla.

6. Tegyük fel, hogy egy vektortér a, b, c, d vektoraira {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} mindegyike összefüggő, de {a, b, c} független. Határozzuk meg d-t.