Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Negyedik alkalom

Egy halmazrendszer egy M eleme minimális, ha M a halmazrendszer egyetlen másik elemét sem tartalmazza (azaz „nincs nála kisebb”). Az M legszűkebb, ha részhalmaza a halmazrendszer minden elemének (azaz „ő a legkisebb”). Legyen V vektortér T felett, és X = {x_{1}, …, x_{n}} ⊆ V. Ekkor ⟨X⟩ = {λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{n}x_{n} | λ_{1}, …, λ_{n} ∈ T } (azaz az x_{1}, …, x_{n} vektorok T -beli együtthatós lineáris kombinációinak a halmaza) altere V -nek, mégpedig a legszűkebb X-et tartalmazó altér. Ennek neve az X által generált altér.

1. Altér-e a W halmaz a V vektortérben az alábbi esetekben?

a) V = T [x] a T test felett, W a páros fokú polinomok, és a zéruspolinom.

b) V a komplex számok vektortere ℝ felett, és W = {z | Re(z) = 0}.

c) V a komplex számok vektortere ℂ felett, W ugyanaz, mint az előbb.

d) V a valós számok vektortere ℝ felett, és W a nemnegatív valós számok halmaza.

e) V a sík ℝ felett, W pedig az első és harmadik síknegyed uniója.

2. Legyen V a sík (helyvektorai), mint ℝ feletti vektortér.

a) Milyen alakzatot alkothat egy 1 illetve 2 elemmel generált altér?

b) Igazoljuk, hogy minden altér generálható két elemmel. Adjuk meg az összes alteret.

c) A b) állítás eredményére támaszkodva adjuk meg a ℂ mint ℝ feletti vektortér, illetve ℝ^{2} mint ℝ feletti vektortér összes alterét. Fogalmazzuk meg precízen, miben hasonlítanak ezek a vektorterek, és hogyan kapcsolódnak egymáshoz altereik.

3. Igaz-e ℝ felett, hogy x ∈ ⟨x^{2} −1, x^{2} −2, 3x+2⟩? És ⟨x, x^{2} +2, x+2⟩ = ⟨1, x+1, x^{2} +1⟩?

4. Legyen V vektortér a T test felett.

a) Mi az üres halmaz által generált altér?

b) Mutassuk meg, hogy egy 1 elemmel generált altérnek legfeljebb két altere lehet.

c) Mutassuk meg, hogy két altér uniója akkor és csak akkor altér, ha az egyik tartalmazza a másikat.

d) Ha U_{1} és U_{2} alterek V -ben, akkor legyen U_{1} + U_{2} = {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}. Bizonyítsuk be, hogy alteret kaptunk, és ez a legszűkebb U_{1} ∪ U_{2}-t tartalmazó altér.

5. Adjunk példát olyan V vektortérre, és W részhalmazra, mely az összeadásra zárt, de az ellentett képzésére nem. Mutassuk meg, hogy egy vektortér egy részhalmaza akkor és csak akkor altér, ha nem üres, és zárt a vektortérműveletekre.

6. Mutassuk meg a lineáris leképezések megfelelő tulajdonságainak felhasználásával, hogy a mátrixműveletekre T^{k×n} vektortér, T^{n×n} pedig algebra.

7. Az alábbi halmazrendszerek közül melyeknek van legszűkebb eleme? Mik a minimális elemek? Mutassuk meg, hogy minden halmazrendszernek csak egy legszűkebb eleme lehet.

a) ℤ összes részhalmaza.

b) ℤ összes nem üres részhalmaza.

c) ℤ összes háromelemű részhalmaza.

d) ℤ összes páros elemszámú részhalmaza.

e) ℤ összes olyan nem üres részhalmaza, ami a kivonásra zárt.

A feladatsorhoz tartoznak még a Freud-könyv 4.2.7, 4.2.15, 4.3.7 feladatai.