Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Harmadik alkalom

Az alábbi vektorterek egy-egy természetesen adódó bázisát a „szokásos” bázisnak nevezzük. A T test feletti T^{n} vektortérben azon b_{1}, …, b_{n} vektorok, melyekre b_{i}-nek az i-edik komponense 1, a többi komponens nulla. A T^{k×n} vektortérben azok a mátrixok, melyekben egyetlen komponens 1, a többi nulla (ezeket a sorfolytonosság sorrendjében tekintjük). A T [x] legfeljebb n-edfokú elemeiből álló vektortérben az {1, x, x^{2}, …, x^{n}} bázis. A síkon, mint ℝ feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok. A ℂ -ben, mint ℝ feletti vektortérben az 1 és az i. Egy T testben, mint önmaga feletti vektortérben az egységelem.

1. Igazoljuk tetszőleges T test feletti V vektortérben az alábbi állításokat.

a) (∀λ ∈ T)(λ0_{V} = 0_{V}) és (∀v ∈ V)(0_{T} v = 0_{V}).

b) (∀λ ∈ T)(∀v ∈ V)(λv = 0_{V} ⟹ (λ = 0_{T} ∨ v = 0_{V})).

c) (∀v ∈ V)((−1_{T})v = −v).

2. Legyen V = {a, b}, definiáljuk az „összeadást” úgy, hogy a + a = a + b = b + a = a, és b + b = b. Definiáljuk továbbá tetszőleges λ ∈ ℝ és v ∈ V esetén λv-t v-nek. Mely vektortéraxiómák teljesülnek? Igaz-e, hogy (−1)v ellentettje v-nek minden v ∈ V -re? A (−1)v = −v összefüggés bizonyításában hol használtuk ki, hogy V -ben létezik ellentett?

3. Igazoljuk, hogy az összeadás kommutativitása következik a többi vektortéraxiómából.

4. Az alábbi A : V_{1} → V_{2} leképezések közül melyek lineárisak? Ahol a válasz igenlő, ott adjuk meg a leképezés mátrixát is a szokásos, illetve a megadott bázis(pár)ban.

a) V_{1} és V_{2} a sík ℝ felett, A egy eltolás; az origó körüli +90 fokos forgatás; az y = x egyenesre való, függőleges vetítés. A bázis: b_{1} = (1, 2), b_{2} = (−1, 1).

b) V_{1} = ℝ az ℝ felett, V_{2} = ℂ a ℂ felett, A az 1 + i számmal való szorzás.

c) V_{1} = V_{2} = ℂ az ℝ felett, A az 1 + i számmal való szorzás.

d) V_{1} = ℝ^{n}, V_{2} = ℝ az ℝ felett, A(v) a v komponenseinek az összege.

e) V_{1} = V_{2} = ℝ^{2×2} az ℝ felett, A a transzponálás (azaz a főátlóra való tükrözés).

f) V_{1} = ℝ[x] legfeljebb harmadfokú elemei, V_{2} = ℂ az ℝ felett, A(f) = f(i).

g) V_{1} = V_{2} = ℝ[x] legfeljebb n-edfokú elemei az ℝ felett, A(f) = f′ (derivált).

5. Legyen V vektortér T felett. Igazoljuk a disztributív szabályokat Hom(V)-ben.

Könnyű, de nagyon fontos gyakorló feladatok

6. Legyenek V és W vektorterek a T test felett, és A ∈ Hom(V, W). Igazoljuk, hogy A(0_{V}) = 0_{W}, és (∀v ∈ V)(A(−v) = −A(v)).

7. Igazoljuk, hogy tetszőleges leképezések között a kompozíció művelete mindig asszociatív, továbbá, hogy lineáris leképezések kompozíciója és skalárszorosa is lineáris leképezés.

8. Igazoljuk a feladatsor bevezetőjében szereplő struktúrákról, hogy vektorterek, és hogy a megadott vektorok tényleg bázist alkotnak. Mutassuk meg, hogy ha V és W vektorterek T felett, akkor Hom(V, W) vektortér, Hom(V) pedig algebra T felett.

9. Igazoljuk az előadáson házi feladatnak feladott alábbi összefüggéseket: [λv]_{b} = λ[v]_{b}, [AB]_{c/a} = [A]_{c/b}[B]_{b/a}, [A+B]_{b/a} = [A]_{b/a}+[B]_{b/a}, [λA]_{b/a} = λ[A]_{b/a}. Mely struktúrák közötti melyik leképezés művelettartását fejezik ki ezek az összefüggések?