Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Második alkalom

Az M = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) mátrix nyoma tr(M) = a + d, determinánsa pedig det(M) = ad − bc.

Az egységmátrix az E = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ), a nullmátrix pedig ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ). Két mátrixot úgy adunk

össze, hogy a megfelelő komponenseket összeadjuk; skalárral mátrixot úgy szorzunk, hogy a mátrix minden komponensét megszorozzuk ezzel a skalárral.

1. Írjuk fel a múltkori 5. és 6. feladatokban szereplő geometriai transzformációk mátrixát, és oldjuk meg ezeket a feladatokat mátrix-szorzás segítségével.

2. Mely geometriai transzformációk tartoznak az alábbi mátrixokhoz? Adjuk meg a megfelelő transzformációk inverzeit, és ezek mátrixait is. Milyen mátrixot kapunk, ha egy transzformáció mátrixát és a transzformáció inverzének a mátrixát összeszorozzuk?

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

3. Igazoljuk, hogy ha M és N kétszer kettes mátrixok, akkor det(MN) = det(M) det(N).

4. Végezzük el az

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) · \frac{1}{ad − bc} ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} )

szorzást. Fogalmazzuk meg, mely kétszer kettes mátrixoknak van inverze.

5. Mutassuk meg, hogy ha M kétszer kettes mátrix, akkor M^{2} − tr(M)M + det(M)E a nullmátrix.

6. Megoldható-e a kétszer kettes valós mátrixok körében az X^{2} = −I egyenlet? Adjuk meg az X^{2} = I egyenlet összes megoldását.

7. Az M és N mátrixok felcserélhetők, ha MN = NM. Határozzuk meg azokat a kétszer kettes mátrixokat, amelyek minden kétszer kettes mátrix-szal felcserélhetők.

8. Mutassuk meg, hogy a síkon az (1, 2) és (3, 4) pontok(hoz tartozó helyvektorok) bázist alkotnak. Mik ebben a bázisban az (5, 7) pont koordinátái?

9. Van-e olyan bázis ℝ^{3}-ben, melynek első két eleme

( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ) és ( \begin{matrix}2 \\ 6 \\ 9 \end{matrix} )  illetve  ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ) és ( \begin{matrix}2 \\ 6 \\ 8 \end{matrix} )?

10. Mutassuk meg a lineáris egyenletrendszerekről tanultakat felhasználva, hogy a síkon három vektor nem alkothat bázist. Állhat-e egy bázis ℝ^{3}-ben háromnál több vektorból?

11^{∗∗}. A szultán gondolt ℝ^{1001}-ben egy bázist, amit Seherezádénak 1001 éjszaka alatt ki kell találnia, különben kivégzik. Éjszakánként egy általa választott vektorról megkérdezheti, hogy mik a koordinátái. Életben marad-e Seherezádé? Mi a helyzet akkor, ha mindig csak az első koordinátára kérdezhet rá, és a kegyelem feltétele az első bázisvektor kitalálása?