Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Tizenegyedik alkalom

1. Határozzuk meg a múltkori első feladatban szereplő mátrixok és lineáris transzformációk minimálpolinomját és invariáns altereit. Adjunk meg a térben egy olyan lineáris transzformációt, melynek van olyan kétdimenziós invariáns altere, ami nem sajátaltér. Határozzuk meg egy általános diagonális mátrix minimálpolinomját.

2. Melyek azok a lineáris transzformációk a síkon, melyeknek minimálpolinomja elsőfokú?

3. Adjunk meg a síkon olyan lineáris transzformációt, melynek minimálpolinomja x^{2}.

4. Igazoljuk, hogy ha A és B felcserélhető lineáris transzformációk, akkor A minden sajátaltere, továbbá Im(A) és ker(A) is B-invariáns altér.

5. Melyek azok a transzformációk, melyekre minden altér invariáns?

6. Oldjuk meg ℚ^{2×2}-ben az X^{4} = 2X egyenletet.

7. Legyen A lineáris transzformáció a V vektortéren, és 0 ≠ v ∈ V. Mutassuk meg, hogy azok a p polinomok, melyekre p(A)v = 0, ideált alkotnak T [x]-ben.

8. Tekintsük Hom(V)-ben az {A^{i} | i = 0, 1, 2, … } (A^{0} = I) transzformációk által generált alteret. Hány dimenziós ez az altér?

9. Igazoljuk, hogy ha M invertálható mátrix, akkor M^{−1} polinomja M-nek.

10. Igazoljuk, hogy egy racionális elemű négyzetes mátrix minimálpolinomja ugyanaz ℚ és ℂ felett. (Használjuk fel az első gyakorlaton szerepelt állítást homogén racionális együtthatós egyenletrendszerek komplex megoldásairól).

11. Tegyük fel, hogy egy n × n-es M mátrix főátlójában és ezalatt csupa nulla áll. Igazoljuk, hogy M^{n} = 0.

12. Határozzuk meg az alábbi vektorrendszerek rangját ℝ felett.

a) Az alábbi mátrixok oszlopai. Keressünk rang méretű nem eltűnő aldeterminánst is.

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

b) Az alábbi polinomrendszerek.

{1, x, x^{2}} {1 + x, 1 + 2x, 1 + 3x} {1 + x, 1 + x^{2}, x + x^{2}} {x, 2x, x^{2}, x^{3}}

13. Legyen A, B ∈ Hom(V_{1}, V_{2}). Mutassuk meg, hogy r(A + B) ≤ r(A) + r(B). Adjunk példát arra az esetre, amikor egyenlőség áll, és arra is, amikor nem.

14. Bizonyítsuk be, hogy egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha mátrixának rangja egyenlő a kibővített mátrix rangjával. Igazoljuk, hogy ilyenkor a megoldás pontosan akkor egyértelmű, ha a mátrix rangja egyenlő az ismeretlenek számával.

15. Igazoljuk, hogy ha egy mátrix oszlopaival elvégezzük a Gauss-eliminációt, akkor oszloprangja is és determinánsrangja is a vezéregyesek száma.

16. Bizonyítsuk be a Cramer-szabályt.