Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Tizedik alkalom

1. Határozzuk meg az alábbi lineáris transzformációk illetve mátrixok sajátértékeit, sajátaltereit, és karakterisztikus polinomját.

a) Az alábbi mátrixok ℝ illetve ℂ felett:

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}α & 0 \\ 1 & α \end{matrix} )  ( \begin{matrix}α & 0 & 0 \\ 1 & α & 0 \\ 0 & 1 & α \end{matrix} )

b) A vektortér a sík ℝ felett, a transzformáció pedig az y = x egyenesre való tükrözés; az erre az egyenesre való, függőleges irányú vetítés; az origó körüli α szögű forgatás.

c) A transzformáció a deriválás az ℝ[x] legfeljebb másodfokú elemeinek vektorterén.

2. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha λ sajátértéke A-nak, akkor λ^{2} sajátértéke A^{2}-nek.

b) Ha λ^{2} sajátértéke A^{2}-nek, akkor λ sajátértéke A-nak.

c) Ha 0 sajátértéke A^{2}-nek, akkor 0 sajátértéke A-nak.

d) A^{2} = 0 akkor és csak akkor, ha A egyetlen sajátértéke a 0.

3. Adjunk explicit képletet az alábbi sorozatok általános elemére.

a) a_{0} = a_{1} = 1, a_{k} = a_{k−1} + a_{k−2} (Fibonacci-sorozat).

b) a_{0} = 5, a_{1} = 6, a_{2} = 10, a_{k} = 2a_{k−1} − a_{k−2} + 2a_{k−3}.

4. Legyen A egybevágósági transzformáció a térben, mely a P pontot helyben hagyja. Igazoljuk, hogy van olyan Q ≠ P pont, melyet A vagy helyben hagy, vagy P -re tükröz.

5. Igazoljuk, hogy páronként különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek.

6. Mutassuk meg, hogy ha egy n × n-es mátrixnak n különböző sajátértéke van, akkor ezek összege a mátrix nyoma, szorzatuk pedig a mátrix determinánsa.

7. Mutassuk meg, hogy ha a λ sajátértékhez tartozó sajátaltér k dimenziós, akkor λ legalább k-szoros gyöke a karakterisztikus polinomnak. Teljesül-e mindig az egyenlőség?

8^{∗∗}. Legyen M egy n × n-es valós mátrix. Mely állítások igazak az alábbiak közül?

a) Ha k → ∞ esetén M^{k} (minden eleme) nullához tart, akkor M minden komplex sajátértéke egynél kisebb abszolút értékű.

b) Ha M minden komplex sajátértéke egynél kisebb abszolút értékű, akkor k → ∞ esetén M^{k} (minden eleme) nullához tart.

További gyakorló feladatok (lásd még: Freud-könyv, 6. Fejezet)

9. Bizonyítsuk be, hogy minden polinom előáll karakterisztikus polinomként.

10. Mutassuk meg, hogy tetszőleges transzformációnak ugyanaz a karakterisztikus polinomja, mint (tetszőleges bázisban felírt) mátrixának. Igazoljuk, hogy tetszőleges n × n-es mátrix katakterisztikus polinomja tényleg egy n-edfokú polinom.

11. Adjunk explicit képletet az első feladat utolsó két mátrixának k-adik hatványára.

12. Adjunk explicit képletet az a_{k} és b_{k} számokra, ha tudjuk, hogy a_{0} = 1, b_{0} = 1, a_{k+1} = 2a_{k} + b_{k}, b_{k+1} = 2b_{k} − a_{k} (k ≥ 0).