Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, első félév Első alkalom

1. Adjuk meg Gauss-eliminációval az alábbi egyenletrendszerek általános megoldását. Az első egyenletrendszer mely megoldásában minimális az ismeretlenek négyzetösszege?

\begin{aligned}2 & x & − & 3 & y & + & 6 & z & = & 14 \\ −3 & x & & & & + & 2 & z & = & 3 \\ & x & − & 6 & y & + & 14 & z & = & 31 \end{aligned}  \begin{aligned}HF: & & x & − & y & + & z & + & & t & = & 2 \\ & −3 & x & & & & & + & 3 & t & = & 0 \\ & −2 & x & − & y & + & z & + & 4 & t & = & 2 \\ & 4 & x & − & y & + & z & − & 2 & t & = & 2 \end{aligned}

2. Tekintsünk egy n ismeretlenes, m egyenletből álló, ℝ feletti lineáris egyenletrendszert, melynek t darab (valós) megoldása van (t = ∞ is lehetséges). Töltsük ki az alábbi táblázatokat: I jelentse azt, hogy ilyen eset előfordulhat, N pedig azt, hogy nem.

Általános t = 0 t = 1 t = ∞

n < m n = m n > m

Homogén  t = 0  t = 1  t = ∞ n < m n = m n > m

3. Ha egy ℚ feletti homogén lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális komplex megoldása, akkor hány racionális megoldása van? Ha egy ℝ feletti lineáris egyenletrendszernek van komplex, nem valós megoldása, akkor hány valós megoldása van?

4. Legyenek a, b, c valós számok. Az ax+by+c = 0 egyenlettel milyen geometriai alakzatot adhatunk meg? Ha két ilyen egyenletet tekintünk, mi a geometriai jelentése a kapott egyenletrendszernek? Jellemezzük geometriailag azt, hogy az egyenletrendszernek 0, 1, illetve végtelen sok megoldása van.

5. Jelölje F_{α} a síkon az origó körüli, pozitív irányú, α szögű forgatást, és T_{a,b} az ax+by = 0 egyenesre való tükrözést. Mi lesz az (x, y) pont képe ezeknél a transzformációknál? Milyen geometriai transzformáció lesz F_{α} ∘ F_{β}, F_{α} ∘ T_{a,b}, T_{a,b} ∘ F_{α}, T_{a,b} ∘ T_{c,d}?

6. Legyen A a térben a z-tengely körüli 90 fokos forgatás, ami az x-tengelyt az y-tengelybe viszi, B pedig az a transzformáció, ami minden pontot tükröz a (0, 0, 0) és (1, 1, 1) pontokat összekötő egyenesre. Mi lesz ezeknél az (1, 2, 3) pont képe? Igaz-e, hogy A ∘ B = B ∘ A?

7. Mutassuk meg, hogy a síkon és a térben minden, az origót fixáló egybevágósági transzformáció összegtartó (az (x, y) és (u, v) pontok összege (x + u, y + v)).

8. Adott n szám úgy, hogy közülük bármely n − 1 összege 1998. Melyek ezek a számok? HF: adott a ≠ b számok esetén oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

a x_{1} + a x_{2} + … + a x_{n−1} + b x_{n} = 1
a x_{1} + a x_{2} + … + b x_{n−1} + a x_{n} = 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b x_{1} + a x_{2} + … + a x_{n−1} + a x_{n} = n

9^{∗}. Egy n-szög csúcsaira számokat akarunk úgy írni, hogy bármelyik csúcsból induljunk is el a sokszög mentén, a sorra következő m szám összege 1 legyen. Mely m és n értékek esetén lehetséges ez úgy, hogy valamelyik csúcsra 1/m-től különböző szám kerüljön?