Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Kilencedik alkalom

A kvaterniók szorzását a következőképpen lehet megjegyezni. Az {i, j, k} ciklikus sorrendben előrefelé haladva bármely két szomszédos elem szorzata a harmadik, visszafelé haladva bármely két szomszédos elem szorzata a harmadik ellentettje, és mindegyik elem négyzete −1. Összegeket a disztributív szabály alapján szorozhatunk, annak felhasználásával, hogy a valós számok az i, j, k elemekkel felcserélhetők.

1. Legyen α = a + bi + cj + dk kvaternió (a, b, c, d ∈ ℝ), és \overline{α} = a − bi − cj − dk az α konjugáltja. Számítsuk ki az α^{2} és az α · \overline{α} szorzatokat.

2. Igazoljuk, hogy a kvaterniók testében az x^{2} + 1 polinomnak végtelen sok gyöke van. Határozzuk meg az összes gyököt. Oldjuk meg az x^{2} − 1 = 0 egyenletet is.

3. Igazoljuk, hogy végtelen sok egész szám van, amely nem áll elő nyolc darab hatodik hatvány összegeként.

4. Tegyük fel, hogy az n páros egész szám. Milyen maradékot adhatnak nyolccal osztva n^{4} + 1 osztói?

5. Tegyük fel, hogy az n egész szám osztható hattal. Milyen maradékot adhatnak 12-vel osztva n^{4} − n^{2} + 1 osztói?

6. Van-e végtelen sok olyan szám, ami nem írható fel három négyzetszám összegeként, és két különböző prímszám szorzata?

További feladatok

7. Adjuk meg az összes olyan valós együthatós másodfokú polinomot, amelynek végtelen sok gyöke van a kvaterniók között.

8. Mutassuk meg, hogy az alábbi megfeleltetés gyűrű-izomorfizmus a kvaterniótest, és a ℂ^{2×2} mátrixgyűrű egy részgyűrűje között. Igazoljuk ennek felhasználásával, hogy a kvaterniók tényleg gyűrűt alkotnak. Mutassuk meg, hogy ez a megfeleltetés valójában ℝ feletti algebra-izomorfizmus.

a + bi + cj + dk ⟷ ( \begin{matrix}a + bi & c + di \\ −c + di & a − bi \end{matrix} ) (a, b, c, d ∈ ℝ).

9. Igazoljuk, hogy a {±1, ±i, ±j, ±k} kvaterniók egy (nyolcelemű) csoportot alkotnak a szorzásra. Határozzuk meg ennek a csoportnak az összes részcsoportját és normálosztóját.

10. Oldjuk meg az x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 · 2^{k} diofantikus egyenletet (k ≥ 0 adott egész).

11. Bizonyítsuk be, hogy minden 23–nál nagyobb egész szám felírható valódi hatványok összegeként. (A valódi hatványok azok, melyeknek alapja is, kitevője is egynél nagyobb pozitív egész. A felbontás lehet egy tényezős is, és ismétlődést is megengedünk.)

12^{∗}. Oldjuk meg az x^{2} + y^{2} + z^{2} + x + y + z = 1 egyenletet, ahol x, y, z racionális számok.

13^{∗}. Mutassuk meg, hogy x^{2} +y^{2} +z^{2} +(z +1)^{2} alakban pontosan a néggyel nem osztható pozitív egészek állnak elő (x, y, z egészek).

Typeset by AMS-TEX