Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Nyolcadik alkalom

A múltkori első feladat végeredménye a következő. Az x^{4} − 2 polinom ℚ feletti felbontási teste K = ℚ(i, \sqrt[4]{2}). Legyen G a ℚ ≤ K bővítés (azaz az x^{4} − 2 polinom ℚ feletti) Galoiscsoportja. Ennek a polinomnak a gyökei α_{1} = \sqrt[4]{2}, α_{2} = iα_{1}, α_{3} = −α_{1}, α_{4} = −iα_{1}. A G csoport tekinthető az {α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}} halmazon ható permutációcsoportnak, mert e négy elem képei már meghatározzák G elemeinek hatását a teljes K halmazon. Az áttekinthetőség kedvéért a permutációk megadásakor az α betűket elhagyjuk, tehát például (13) az a permutáció, ami α_{1}-et α_{3}-mal kicseréli, és fixen hagyja az α_{2}, α_{4} elemeket. Ekkor G ≅ D_{4}, és ezért K résztestei a D_{4} részcsoportjainak felelnek meg az alábbi módon:

\{id\} ⟷ ℚ(i, \sqrt[4]{2})  \{id, (13)\} ⟷ ℚ(i\sqrt[4]{2})
\{id, (13), (24), (13)(24)\} ⟷ ℚ(\sqrt{2})  \{id, (24)\} ⟷ ℚ(\sqrt[4]{2})
\{id, (12)(34), (14)(23), (13)(24)\} ⟷ ℚ(i\sqrt{2}) \{id, (13)(24)\} ⟷ ℚ(i, \sqrt{2})
\{id, (1234), (13)(24), (1432)\} ⟷ ℚ(i)  \{id, (12)(34)\} ⟷ ℚ(\sqrt[4]{2} + i\sqrt[4]{2})
D_{4} ⟷ ℚ  \{id, (14)(23)\} ⟷ ℚ(\sqrt[4]{2} − i\sqrt[4]{2})

1. A fenti táblázat felhasználásával határozzuk meg, hogy melyik ismert csoporttal izomorf a ℚ(i) ≤ ℚ(i, \sqrt[4]{2}) illetve a ℚ ≤ ℚ(i, \sqrt{2}) bővítés Galois-csoportja.

2. Legyen ε primitív harmadik egységgyök. Mi lesz a ℚ(ε) ≤ ℚ(ε, \sqrt[3]{2}) bővítés Galoiscsoportja?

3. Legyen ε primitív n-edik (komplex) egységgyök, és K_{n} = ℚ(ε) (ez a Φ_{n} körosztási polinom felbontási teste ℚ felett). Jelölje G_{n} a ℚ ≤ K_{n} bővítés Galois-csoportját.

a) Igazoljuk, hogy ha g ∈ G_{n}, akkor van olyan n-hez relatív prím j, melyre g(ε) = ε^{j}.

b) Igazoljuk, hogy G_{n} egy φ(n) rendű Abel-csoport. c)^{∗} Igazoljuk, hogy K_{n} ∩ K_{m} = K_{(n,m)}.

4. Mutassuk meg, hogy a Frobenius-tétel feltételei mind szükségesek.

További gyakorló feladatok

5. Mutassuk meg az alaptétel felhasználása nélkül, hogy ha K részteste ℂ-nek, akkor K minden másodfokú L bővítése normális K felett, és e bővítés Galois-csoportja a másodrendű ciklikus csoport. Igaz-e az állítás akkor is, ha a négyelemű testet tekintjük a kételemű felett? És ha a 9 eleműt a háromelemű felett?

6. Határozzuk meg az x^{3} − 2 polinom ℚ feletti felbontási testének Galois-csoportját ℚ felett, és ennek felhasználásával az összes közbülső testeket.

7. Jelölje a ℚ fölött irreducibilis f polinom felbontási testét K, a ℚ ≤ K bővítés Galoiscsoportját G.

a) Igazoljuk, hogy ha γ ∈ K, akkor ∏_{g∈G}(x − g(γ)) ∈ ℚ[x].

b) Igazoljuk, hogy ha α és β az f gyökei, akkor létezik olyan g ∈ G, amelyre g(α) = β.

c) Tegyük fel, hogy f-nek létezik 1 abszolút értékű gyöke és G kommutatív. Mutassuk meg, hogy f valamennyi gyöke 1 abszolút értékű.

Typeset by AMS-TEX