Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Hetedik alkalom

A K ≤ L (≤ ℂ) véges bővítés normális, ha minden K felett irreducibilis f polinomra igaz, hogy vagy nincs gyöke L-ben, vagy az “összes” gyöke L-ben van, azaz f elsőfokú tényezőkre bomlik L felett (lásd Fuchs: Algebra, VI/7.§.). Normális bővítést kapunk például, ha egy p ∈ K[x] polinom összes komplex gyökét K-hoz adjungáljuk. Az így kapott testet a p felbontási testének nevezzük K felett. A normális bővítések azért fontosak, mert ilyenkor a K ≤ T ≤ L közbülső testek a Galois-elmélet segítségével kiszámíthatók a következőképpen.

A K ≤ T bővítés szimmetriája (relatív automorfizmusa) egy olyan izomorfizmusa T - nek önmagára, melynél K elemei önmagukba képződnek. E szimmetriák a kompozícióra nézve a bővítés G Galois-csoportját alkotják. Ha H ≤ G (H részcsoportja G-nek), akkor legyen T azon L-beli elemek halmaza, melyek H minden eleménél fixen maradnak. Nyilván K ≤ T ≤ L, és így G minden részcsoportjához egy közbülső testet rendeltünk.

A Galois-elmélet főtétele a következőket mondja ki. Ha K ≤ L normális bővítés, akkor a G Galois-csoport rendje épp |L : K|, azaz a bővítés foka. Ebben az esetben a fenti megfeleltetés a G részcsoportjai, és a közbülső testek között kölcsönösen egyértelmű. Ha H és T egymásnak felelnek meg, akkor |H| = |L : T | (és így |G : H| = |T : K|). A H akkor és csak akkor normálosztó, ha a K ≤ T bővítés normális; ilyenkor e bővítés Galois-csoportja éppen a G/H faktorcsoport (Fuchs: VI/11.§.).

1. Az alábbiak végrehajtásával határozzuk meg a ℚ(\sqrt[4]{2}) test összes résztestét. a) Normális-e a ℚ ≤ ℚ(\sqrt[4]{2}) bővítés?

b) Normális-e a ℚ ≤ ℚ(i, \sqrt[4]{2}) bővítés?

c) Legyen G a b)-beli bővítés Galois-csoportja, és φ ∈ G. Mi lehet φ(i) és φ(\sqrt[4]{2})?

d) Mutassuk meg, hogy ha φ, ψ ∈ G, φ(i) = ψ(i), és φ(\sqrt[4]{2}) = ψ(\sqrt[4]{2}), akkor φ = ψ.

e) Az előző két pont alapján igazoljuk, hogy G elemszáma legfeljebb 8.

f) Az alaptétel alapján mennyi G elemszáma? Hová vihetik G elemei i-t és \sqrt[4]{2}-t?

g) Legyen α_{1} = \sqrt[4]{2}, α_{2} = iα_{1}, α_{3} = −α_{1}, α_{4} = −iα_{1}. Igazoljuk, hogy ha φ és ψ megegyezik az α_{1} és α_{2} helyeken, akkor φ = ψ.

h) Mi az összefüggés φ(α_{1}) és φ(α_{3}) között?

i) Mutassuk meg, hogy ha az α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4} számokat ebben a sorrendben egy négyzet csúcsaira írjuk, akkor G minden eleme a négyzetnek szimmetriája lesz, és így G ≅ D_{4}.

j) Legyen φ ∈ G az (13) permutációnak megfelelő eleme G-nek. Írjuk fel ℚ(i, \sqrt[4]{2}) egy bázisát ℚ felett, egy általános elem képét φ-nél, és φ fixpontjainak halmazát.

k) Legyen H = {id, (24)}. Mely testek felelnek meg a H-t tartalmazó részcsoportoknak?

l) Igazoljuk, hogy ℚ(\sqrt[4]{2}) minden részteste tartalmazza ℚ-t.

További gyakorló feladatok

2. Határozzuk meg ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) összes résztestét (az előző feladatban látott módszerrel).

3^{∗}. Legyen ε primitív ötödik, illetve 17-edik egységgyök. Határozzuk meg ℚ(ε) résztesteit.

4^{∗}. Mutassuk meg, hogy egy negyedfokú bővítésnek kettő, három, vagy öt közbülső teste lehet (a ℂ résztesteiről van szó).

5. Mely n > 0 egészekre szerkeszthető n fokos szög?

Typeset by AMS-TEX