Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Hatodik alkalom

Legyen K egy szerkesztési feladat alapadatai által generált részteste ℝ-nek. Az α ∈ ℝ szám akkor és csak akkor szerkeszthető ezekből, ha van olyan K = K_{0} ⊆ K_{1} ⊆ ⋯ ⊆ K_{n} testlánc, hogy α ∈ K_{n}, és minden K_{i} ⊆ K_{i+1} bővítés másodfokú. Belátható, hogy ekkor a K_{i} testek választhatók úgy is, hogy K_{n} = K(α) legyen. A fokszámtétel miatt szerkeszthető α esetén |K(α) : K| egy 2-hatvány. Ez szükséges, de nem elégséges feltétele a szerkeszthetőségnek. A szükséges és elégséges feltétel az, hogy K-t az α minimálpolinomjának összes komplex gyökével bővítve 2-hatvány fokú bővítést kapjunk.

1. Az alábbi feladatokban határozzuk meg a K alaptestet, |K(α) : K| értékét, α minimálpolinomja felbontási testének fokát K felett, és döntsük el, hogy a szerkesztés elvégezhető-e.

a) Adott az egységszakasz, szerkesztendő α = \sqrt[5]{2}.

b) Adott az egységszakasz, szerkesztendő α = \sqrt[4]{2}.

c) Adott az egységszakasz és egy \sqrt[3]{2} hosszú szakasz, szerkesztendő α = \sqrt[6]{2}.

d) Adott az egységszakasz és egy \sqrt[3]{2} hosszú szakasz, szerkesztendő α = \sqrt[5]{2}.

e) Adott (0, 0), (0, 1), (0, π), a feladat az egységsugarú kör négyszögesítése.

f) Adott egy szabályos 9-szög a síkon. Szerkesztendő egy szabályos 18-szög. Mi az α?

2. Hol a hiba a következő gondolatmenetben? Az egységszakaszból akarunk π hosszú szakaszt szerkeszteni. Vegyük fel a koordinátarendszert úgy, hogy a síkon adott egységszakasz két végpontja a (0, π) és az (1, π) pontokba kerüljön. Ekkor K = ℚ(0, 1, π), amelynek a szerkesztendő szám eleme. Tehát ez a szerkesztés elvégezhető.

3. Szerkeszthető-e a háromszög, ha adott két oldalának és az egyikhez tartozó szögfelezőnek a hossza? Válaszoljunk az alábbiak megoldásával. Jelölje (a szokásos módon) az oldalakat a, b, c, a hozzájuk tartozó szögfelezőket f_{a}, f_{b}, f_{c}, a szemköztes szögeket α, β, γ.

a) Mutassuk meg, hogy f_{a} = (2bc cos(α/2))/(b + c).

b) Mutassuk meg, hogy cos(α/2) = \sqrt{(1 + cos α)/2}.

c) Vizsgáljuk azt az esetet, amikor a megadott adatok értéke a = 1, b = 1, f_{a} = 1. Ha ez nem szerkeszthető, mi a helyzet az általános feladattal?

d) Fejezzük ki ebben az esetben cos α-t az oldalak segítségével.

e) A c-re kapott egyenletből milyen érték adódik c fokára ℚ felett?

4. Szerkeszthető-e egyenlő szárú háromszög a szárából és a beírt kör sugarából?

További gyakorló feladatok

5. Egy „kockás” papíron, csak vonalzóval, meg tudjuk-e szerkeszteni az egyik kis négyzet oldalára illeszkedő szabályos háromszög harmadik csúcsát?

6. Az alábbi feladatokban határozzuk meg a szerkesztési lépésekhez tartozó testeket.

a) Adott egy derékszögű háromszög, befogóinak a hossza 4 és 5 egység. Szerkesszük meg a háromszög beírt körét.

b) Szerkesszünk adott egységszakasszal 15 fokos szöget bezáró, a szakasz egyik végpontján átmenő egyenest.

c) Adott az egységszakasz. Szerkesszünk olyan szakaszt, amelynek a hossza β, ahol β az x^{4} − x^{2} − 10 polinom egyetlen pozitív gyöke.

Typeset by AMS-TEX