Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Negyedik alkalom

Legyen K test, f ∈ K[x], és L ≥ K olyan test, amely felett f elsőfokú tényezők szorzatára bontható (azaz L tartalmazza f „összes” gyökét). Ekkor az L-ben a K elemei és az f gyökei által generált testet az f polinom K feletti felbontási testének nevezzük. Ez nem függ az L választásától abban az értelemben, hogy K feletti izomorfia erejéig egyértelmű.

1. Határozzuk meg az alábbi polinomok felbontási testének fokát.

a) x^{4} − 2 a ℚ felett.

b) x^{4} − 2 az ℝ felett.

c) x^{13} − 2 a ℚ felett.

d) x^{6} − 2 a ℚ felett.

e) x^{4} − 2 a ℤ_{2} felett.

f) x^{4} − 1 a ℤ_{2} felett.

g) x^{4} − x a ℤ_{2} felett.

h) x^{8} − x a ℤ_{2} felett.

i) x^{2} + 1 a ℤ_{17} felett.

j) x^{2} − 3 a ℤ_{17} felett.

További gyakorló feladatok Hermann Pétertől

2. Jelölje R azon racionális számok halmazát, amelyek felírhatók páratlan nevezőjű törtként. Mutassuk meg, hogy R részgyűrű a racionális számok testében. Részgyűrűt illetve ideált alkotnak-e R-ben az R azon elemei, amelyek felírhatók olyan törtként, amelynek a nevezője 3-hatvány? Mutassuk meg, hogy R minden ideálja főideál, és adjuk is meg az összes különböző ideált.

3. Jelölje I azoknak az egész együtthatós polinomoknak a halmazát, melyek konstans tagja páros. Mutassuk meg, hogy I ideál ℤ[x]-ben. Hány eleme van a ℤ[x]/I faktorgyűrűnek?

4. Mutassuk meg, hogy ha f olyan másodfokú valós együtthatós polinom, melynek nincs valós gyöke, akkor ℝ[x]/(f) ≅ ℂ.

5. Adjuk meg a komplex számok testének egy-egy olyan részgyűrűjét, amely ℚ[x]/(x^{2}+1)- gyel, illetve ℚ[x]/(x^{2} + x + 1)-gyel izomorf. Izomorf-e egymással ez a két gyűrű?

6. Hány gyöke van egy 27-elemű testben az x^{2} − x + 1 illetve az x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 polinomnak?

7. Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű, és a, b ∈ R.

a) Mutassuk meg, hogy (a) = (b) akkor és csak akkor teljesül, ha a és b asszociáltak (azaz egymás osztói).

b) Jelölje (a, b) az {ar + bs | r, s ∈ R} halmazt. Mutassuk meg, hogy (a, b) ideál az R-ben, mégpedig a legszűkebb olyan ideál, amely a-t is és b-t is tartalmazza.

c) Tegyük fel, hogy van olyan c ∈ R, amelyre (a, b) = (c). Mutassuk meg, hogy akkor c kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek (azaz c osztója a-nak és b-nek, és osztható a és b mindegyik közös osztójával).

Typeset by AMS-TEX