Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Harmadik alkalom

Legyen K test, és f ∈ K[x] irreducibilis polinom. Tanultuk, hogy az L = K[x]/(f) faktorgyűrű test, és hogy ha c ∈ K[x] konstans polinom, akkor a c^{∗} = c + (f) maradékosztályok az L-nek egy K-val izomorf résztestét alkotják. Ha tehát a c elemet azonosítanánk c^{∗}-gal, akkor (pongyolán) azt is mondhatnánk, hogy L valójában a K-nak bővítése. Arról is volt szó, hogy az f polinomnak már van gyöke L-ben. Ez az állítás szó szerint értelmetlen, hiszen az f polinomba L elemeit be sem lehet helyettesíteni (maradékosztályok és K-beli elemek között nem értelmeztünk műveletet). De ez a probléma eltűnik, ha K helyett K^{∗}-ra gondolunk.

Ha f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n}, akkor legyen f^{∗}(x) = a_{0}^{∗} + a_{1}^{∗}x + ⋯ + a_{n}^{∗}x^{n}. Az f^{∗} polinomnak már maradékosztályok az együtthatói, és ezért ebbe már tudunk maradékosztályokat helyettesíteni. Helyettesítsük be az α = x + (f) ∈ L elemet:

f^{∗}(α) = (a_{0}+(f))+(a_{1}+(f))(x+(f))+⋯+(a_{n}+(f))(x+(f))^{n} = a_{0}+a_{1}x+⋯+a_{n}x^{n}+(f) .

De ez épp f + (f) = 0 + (f), ami pedig L nulleleme. Ezért f^{∗}-nak α gyöke.

Ha most K-t és K^{∗}-ot azonosítjuk, akkor persze f is „azonosul” f^{∗}-gal, és ezért mondhatjuk azt, hogy L olyan bővítése K-nak, amiben már f-nek van gyöke. Ilyen azonosítások számtalan helyen előfordulnak, például az 1/2 és 2/4 törteket is azonosként kezeljük, és K elemeit is azonosítottuk K[x] konstans polinomjaival.

1. Jelölje ℤ_{n} azt a gyűrűt, melynek elemei {0, 1, …, n − 1}, és a műveleteket modulo n végezzük. Keressük meg ℤ_{8} összes ideálját, készítsük el a megfelelő faktorgyűrűk műveleti tábláit, és állapítsuk meg, hogy ezek a faktorgyűrűk milyen ismert gyűrűkkel izomorfak.

2. Legyen L = ℤ_{2}[x]/(x^{2} + x + 1). Határozzuk meg L elemszámát, írjuk fel az összeadási és a szorzástábláját, keressük meg benne a ℤ_{2}^{∗} résztestet, és (a fenti bevezető értelmében) adjuk meg L-ben az x^{2} + x + 1 polinom gyökeit. Mi lesz L elemeinek minimálpolinomja ℤ_{2}^{∗} felett?

3. Igazoljuk az alábbi állításokat.

a) ℤ_{12}/(4) nem test, de ℤ_{12}/(3) igen.

b) ℝ[x]/(x^{2} − 1) ≅ ℂ̸, de ℝ[x]/(x^{2} + 2) ≅ ℂ.

c) ℚ[x]/(x^{2} − 2) ≅ \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\}.

d) ℤ[x]-nek van olyan faktorgyűrűje, ami test.

4. A ℚ[x]/(x^{2} + x + 1) gyűrűben mi az x + (x^{2} + x + 1) inverze?

További gyakorló feladatok

5. Oldjuk meg a fenti 2. feladatot abban az esetben, amikor x^{2} + x + 1 helyett x^{3} + x + 1 szerepel. Keressünk ezzel a módszerrel kilenc elemű testet is.

6. Mely egész együtthatós f polinomokra lesz a ℤ[x]/(f) faktorgyűrű test?

7. Milyen ismert gyűrűvel lesz izomorf ℂ[x, y]/(x − y)? Nullosztómentes-e, illetve test-e ℂ[x, y]/(x^{2} + y^{2})? És ℝ[x, y]/(x^{2} + y^{2})? (Ez utóbbi kérdés nehezebb.)

Typeset by AMS-TEX