Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Második alkalom

Ha α algebrai K felett, akkor |K(α) : K| = gr_{K}(α), ahol gr_{K}(α) az α foka K felett, azaz K feletti minimálpolinomjának foka. Ezért ha α ∈ L, akkor gr_{K}(α) osztja |L : K|-t. Az α ± β és αβ foka legfeljebb akkora lehet, mint α és β fokainak szorzata. Az alábbi feladatok megoldásaiban használjuk fel, hogy az összes körosztási polinom, valamint az x^{4} − 10x^{2} + 1 polinom irreducibilis ℚ felett (az utóbbi állítást egy éve gyakorlaton (ötödik alkalom, 4. feladat) vért izzadva beláttuk).

1. Határozzuk meg az alábbi számok minimálpolinomját és fokát ℚ felett: π, 1+i, \sqrt{2}+i, \sqrt{2} + \sqrt{3}, \sqrt[3]{2}, 1 + \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2 + \sqrt{2}}, \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 − 5\sqrt{2}}, cos 20^{∘}, tetszőleges primitív n-edik egységgyök.

2. Határozzuk meg |ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}) : ℚ| értékét, és bizonyítsuk be, hogy ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}) = ℚ(\sqrt[6]{2}).

3. Határozzuk meg \sqrt[4]{2} fokát a ℚ(\sqrt{8}) és a ℚ(\sqrt[3]{7}) felett.

4. Legyen θ nem valós gyöke az x^{3} −2 polinomnak. Határozzuk meg θ fokát ℚ(\sqrt[3]{2}) felett, és a ℚ(θ) ∩ ℝ testet. Igaz-e, hogy ha K ≤ L ≤ M, és α ∈ M, akkor gr_{L}(α) osztója gr_{K}(α)-nak?

5. Mutassuk meg, hogy ha K ≤ L egy testbővítés, α, β ∈ L, és gr_{K}(α) és gr_{K}(β) relatív prímek, akkor |K(α + β) : K| = gr_{K}(α)gr_{K}(β).

6. Bizonyítsuk be, hogy ha a és b valós, akkor a + bi pontosan akkor algebrai (ℚ felett), ha a is és b is az. A bizonyításban használjuk fel, hogy az algebrai számok testet alkotnak.

7. Az alábbi számok közül melyek algebraiak, és melyek transzcendensek: π + 3, 5π + 6, π + \sqrt{2}, π^{2} + 2π + 2, \sqrt{π}.

További feladatok

8. Számítsuk ki az alábbi fokszámokat (van közte nehéz is!).

a) |ℚ(cos 23^{∘} + i sin 23^{∘}) : ℚ|.

b) |ℚ(\sqrt{2}\sqrt[3]{3}) : ℚ|.

c) |ℚ(\sqrt[3]{1 − \sqrt{2}}) : ℚ|.

d) \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} foka ℚ(\sqrt{2}) felett.

e) \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} foka ℚ felett.

f) 2 + \sqrt[3]{π} foka ℚ(π) felett.

9. Adjuk meg a ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}) egy bázisát ℚ felett.

10. Egy algebrai szám és egy transzcendens szám összege mikor algebrai? És a szorzatuk? Egy algebrai szám négyzete lehet-e transzcendens? És a négyzetgyöke?

11. Adjunk meg egy olyan c számot, melyre ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = ℚ(c).

Typeset by AMS-TEX