Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Tizenharmadik alkalom

Azt mondjuk, hogy f(x) ≪ g(x), vagy másik jelöléssel f(x) = o(g(x)) (kis ordó) ha f(x)/g(x) → 0 amikor x → ∞. Ha |f(x)/g(x)| csak korlátos, akkor azt írjuk, hogy f(x) = O(g(x)) (nagy ordó). Ha f(x)/g(x) → 1, akkor azt mondjuk, hogy f(x) és g(x) aszimptotikusan egyenlő, jele f(x) ∼ g(x). Az alábbi relációk az analízisből ismeretesek (a < b és c pozitív valós számok):

log log x ≪ log^{c} x ≪ x^{a} ≪ x^{b} ≪ e^{x} .

Fontosabb számelméleti tételek:

∑_{p≤x} \frac{1}{p} = log log x + O(1)

(az összegezés az x-nél nem nagyobb p prímekre megy). A Nagy Prímszámtétel:

π(x) ∼ \frac{x}{log x}

(itt π(x) az x-nél nem nagyobb prímek száma). A log természetes logaritmust jelöl.

1. Igazoljuk, hogy \sqrt{x} = o(cx/ log(x)) minden c > 0 konstans esetén. Vezessük le ebből (a Nagy Prímszámtétel felhasználásával), hogy több prímszám van, mint négyzetszám.

2. Számítsuk ki, hogy Euklidész bizonyításából (miszerint végtelen sok prímszám van) milyen alsó becslés adódik π(x)-re (először becsüljük felülről az n-edik prímszámot). Milyen alsó becslés adódik π(x)-re a páros Goldbach-sejtésből? Vezessük le a Nagy Prímszámtételből, hogy végtelen sok olyan egész szám van, ami legalább 1997-féleképpen áll elő két prímszám összegeként.

3. Mutassuk meg, hogy legalább c N^{3/2} olyan (x, y, z) pozitív egészekből álló számhármas van, amelyre x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ N, ahol c > 0 alkalmas konstans. Vezessük le ebből, hogy van olyan egész, amelynek legalább egymillió felbontása van három négyzetszám összegére.

4. Bizonyítsuk be (a konvergencia kérdésével nem törődve), hogy ha 1 < s ∈ ℝ, akkor

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} = ∏_{p prím}(1 − \frac{1}{p^{s}} )^{−1} .

5. Jelölje p_{n} az n-edik prímszámot. Mutassuk meg, hogy p_{n} ∼ n log(n). (Vegyük észre, hogy π(p_{n}) = n, és alkalmazzuk a Nagy Prímszámtételt.)

6. Legyen T (kommutatív) test. Igazoljuk, hogy T [x_{1}, x_{2}] (a T fölötti kétváltozós polinomok gyűrűje, amit azonosíthatunk (T [x_{1}])[x_{2}]–vel) alaptételes, de nem főideálgyűrű. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy x_{1}^{2} + x_{2}^{2} felbonthatatlan legyen T [x_{1}, x_{2}]-ben?

7. Legyen T test. Fogalmazzuk meg a Schönemann-Eisenstein kritérium T [x_{1}, x_{2}]-beli megfelelőjét, és igazoljuk, hogy x_{2}^{1997} + x_{1}(x_{2}^{20} + 2x_{2}^{7} + 85x_{2} + 26) felbonthatatlan eleme ℚ[x_{1}, x_{2}]-nek.

Typeset by AMS-TEX