Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Első alkalom (avagy variációk köbgyök kettőre)

Ha K ≤ L egy testbővítés, akkor |L : K| jelöli ennek a bővítésnek a fokát, vagyis az L-nek, mint K feletti vektortérnek a dimenzióját. A szorzástétel szerint ha K ≤ L ≤ M, akkor |M : K| = |M : L| · |L : K|. A π szám transzcendens, azaz nem gyöke egyetlen racionális együtthatós, nem nulla polinomnak sem (ez egy ismert, de nagyon nehéz tétel).

1. Résztestet alkotnak-e ℂ-ben az a+b\sqrt[3]{2} alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ? És az a+bπ +cπ^{2} alakú számok, ahol a, b, c ∈ ℚ?

2. Lineárisan függetlenek-e az alábbi halmazok?

a) \{1, i, \sqrt{2} + 3i\} a ℚ felett.

b) \{1, i, \sqrt{2} + 3i\} az ℝ felett.

c) {1, π, 1/π} a ℚ felett.

d) \{1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}\} a ℚ felett.

3. Írjuk fel az 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} szám reciprokát a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} alakban, ahol a, b, c racionális számok. Mutassuk meg, hogy az a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} alakú számok, ahol a, b, c ∈ ℚ, résztestet alkotnak ℚ-ban. Hányadfokú bővítése ez ℚ-nak?

4. Felírható-e a \sqrt[6]{2} szám a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} alakban, ahol a, b, c racionális számok? Megtehető-e ugyanez \sqrt{2}-vel?

Házi feladatok

5. Legyen θ az x^{3} +3x+1 polinom (egyetlen) valós gyöke. Írjuk fel a θ^{5} +2θ^{3} és a θ/(θ−3) számokat a + bθ + cθ^{2} alakban, ahol a, b, c racionális számok.

6. Ha K részteste ℂ-nek, és d ∈ K, akkor jelöljük K(\sqrt{d})-vel az a + b\sqrt{d} alakú számok halmazát, ahol a, b ∈ K. Mutassuk meg, hogy ez részteste ℂ-nek, és határozzuk meg a |K(\sqrt{d}) : K| értékét.

További gyakorló feladatok

7. Legyen K részteste ℂ-nek, és b, c racionális számok. Tegyük fel, hogy \sqrt{b} ∈ K(\sqrt{c}). Bizonyítsuk be, hogy ekkor \sqrt{b} ∈ K, vagy \sqrt{b/c} ∈ K.

8. Legyen b négyzetmentes racionális szám (azaz két négyzetmentes egész hányadosa), és p_{1}, …, p_{n} prímek. Tegyük fel, hogy \sqrt{b} ∈ ℚ(\sqrt{p}_{1}, …, \sqrt{p}_{n}). Bizonyítsuk be, hogy b kanonikus alakjában csak p_{1}, …, p_{n} szerepelhet.

9. Bizonyítsuk be, hogy a prímszámok négyzetgyökei lineárisan függetlenek ℚ felett. (Egy végtelen halmaz akkor lineárisan független, ha minden véges részhalmaza az.)

Typeset by AMS-TEX