Mat-tanári szak, első évfolyam, első félév Második zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta olvashatóan a szerző és a gyakvezér neve. Az összesen 36 pontból 30 biztosan elég a jeleshez, 12 az elégségeshez, feltéve ha van lényegében megoldott feladat (azaz amelyik legalább 5 pontot kapott). Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. Aki valamelyik feladatot próbálgatással oldja meg, az összes számítását adja be.

1. (6 pont) Mi lesz a H_{η} = {z ∈ ℂ | Re(ηz) ≥ 0} halmazok metszete, ha η végigfutja a negyedik egységgyököket?

2. (6 pont) Mely pozitív n egészekre igaz, hogy az első n pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse köbszám?

3. (6 pont) Adjuk meg az alábbi kongruenciarendszer összes megoldását.

\begin{matrix}20x & ≡ & 70 & (42) \\ x & ≡ & 8 & (27) \end{matrix} \}

4. (6 pont) Legyen ε primitív 1996-odik egységgyök. Mik o(−ε^{2}) lehetséges értékei?

5. (6 pont) Hány olyan legfeljebb kétjegyű AB szám van a 90 alapú számrendszerben, amelynek a négyzete AB-re végződik (A és B lehet 0 is)?

6. (6 pont) Van-e olyan pozitív egész számokból álló végtelen számtani sorozat, amelynek minden tagja előáll két prímszám négyzetösszegeként?