Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Első zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta olvashatóan a szerző és a gyakvezér neve. Az összesen 38 pontból 30 biztosan elég a jeleshez, 12 az elégségeshez, feltéve ha van lényegében megoldott feladat (azaz amelyik legalább 5 pontot kapott). Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. Aki valamelyik feladatot próbálgatással oldja meg, az összes számítását adja be.

1. (6 pont) Adjuk meg a 16x + 27y = 1000 egyenlet összes pozitív egész megoldását.

2. (6 pont) Melyik az a legkisebb 5-tel osztható pozitív egész szám, melynek pontosan 35 pozitív osztója van?

3. (6 pont) Mely k > 0 egészekre teljesül, hogy σ(k) = d(k) + 1?

4. (6 pont) Határozzuk meg (2m^{2} + 1, 3m^{2} + 4) lehetséges értékeit, ha m befutja az egész számok halmazát.

5. (6 pont) Mely x, y, u, v ∈ ℤ esetén teljesül, hogy x^{2}u^{2} + 3yu^{2} + 3yv^{2} + x^{2}v^{2} = 11?

6. (3+5 pont) Fessük be pirosra azokat a pozitív egész n számokat, melyekre igaz, hogy minden c ∈ ℤ-re n | c^{2} + c ⟹ n | c vagy n | c + 1.

a) Pirosra festettük-e a 143 számot?

b) Mely pozitív egészeket festettük pirosra?