Mat-tanári szak, első évfolyam, első félév Vizsgatematika

A vizsgára a legjobban az előadáson készített jegyzet és a gyakorlatokon szereplő feladatsorok segítségével lehet készülni (ezeket legalább az államvizsgáig érdemes megőrizni). Az anyag döntő része azonban tankönyvekben is megtalálható. Az algebra anyaghoz Fuchs: Bevezetés az algebrába és a számelméletbe (I–II) című, a számelmélethez Szalay: Számelmélet, és Turán-Gyarmati: Számelmélet című könyveit ajánlom. A Szalay-könyv azért hasznos, mert elmagyarázza, hogy mit miért csinálunk, mire hogyan lehet rájönni. Ez a tudás segít a vizsgakérdések megválaszolásában is. A Turán-Gyarmati jegyzetben általában a legapróbb részleteket is meg lehet találni. Az alábbi tematikában a római számok a gyakorlatok feladatsoraira utalnak. Az NB jelentése: a bizonyítást nem kell tudni.

Vizsgaidőpontok: 1997. december 19. (péntek), és 1998. január 15. (csütörtök) 9:00től 13:00-ig a Gólyavárban. Konzultációk: 1997. december 18. (csütörtök), 9:15 és 1998. január 14. (szerda), 13:00. Ha az esetleges utóvizsgák szükségessé teszik, lesz még egy írásbeli vizsga január legvégén, ennek pontos időpontját majd az érintettekkel egyeztetjük, a második vizsga eredményhirdetésekor.

Algebra. A komplex számok (mint a + bi alakú formális kifejezések, ahol i^{2} = −1). Az a+bi előállítás egyértelmű, valós és képzetes rész. Összeadás, kivonás, szorzás a „szokásos” tulajdonságokkal. Konjugált, abszolút érték, tulajdonságaik. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani, nullosztómentesség. Négyzetgyökvonás, a másodfokú egyenlet megoldása (IX/4). A komplex számsík, komplex szám argumentuma (szöge) és trigonometrikus alakja. Szorzás és osztás trigonometrikus alakban. Egyes geometriai transzformációk kifejezése komplex számokkal. A háromszög-egyenlőtlenség (geometriai bizonyítással).

Komplex egységgyökök, trigonometrikus alakjuk, számuk. Nem nulla komplex szám rendje: különböző hatványainak a száma. A rend a legkisebb pozitív egész, melyre a számot emelve 1-et kapunk. A szám két hatványa akkor és csak akkor egyenlő, ha a kitevők különbsége a rendnek többese. Képlet hatvány rendjére (vö. VII/7). Primitív n-edik egységgyök fogalma és jellemzése trigonometrikus alakban. Gyökvonás komplex számból, az n-edik gyökök meghatározása és geometriai elhelyezkedése.

A harmadfokú egyenlet megoldása: Cardano képlete (vö. XI/8). A köbgyökvonás helyes elvégzése a Cardano képletben. A képlet az egyenlet összes gyökét megadja (X/7). A diszkrimináns felírása a gyökök segítségével (X/7), többszörös gyökök. Valós együtthatók esetén kapcsolat a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között (X/7). A Casus Irreducibilis Tétele (NB). A legalább ötödfokú egyenletre már nincs gyökképlet (NB).

A binomiális együtthatók fogalma és alaptulajdonságai, a binomiális tétel.

Számelmélet. Oszthatóság az egész számok körében, elemi tulajdonságok (III/1,2 is). Asszociáltság, egységek (III/3,4 is). A maradékos osztás tétele (vö. III/6). A kitüntetett közös osztó, egyértelműsége (III/5), elemi tulajdonságai (III/7,9), meghatározása euklideszi algoritmussal (az eljárás gyorsítása: IV/10), felírhatósága ax + by alakban. A lineáris diofantikus egyenlet megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele. Képlet a megoldásra (V/2). A kitüntetett közös osztó kiemelési tulajdonsága. Felbonthatatlan és prím

Fordíts! Typeset by AMS-TEX számok (IV/12 is). Az egész számok körében minden felbonthatatlan prím (de a páros számok körében nem, III/10, IV/1). A számelmélet alaptétele. A kanonikus alak. Oszthatóság eldöntése a kanonikus alak segítségével. A kitüntetett közös többszörös (V/1). Két szám közös kanonikus alakja, képlet a kitüntetett közös osztóra és többszörösre (V/1).

Képlet a pozitív osztók számára (d(n)), ez multiplikatív (vö. VI/9,12), d(n) ≤ 2\sqrt{n} (VI/3). Relatív prím számok, elemi tulajdonságaik. Két relatív prím szám szorzatának osztói. A pozitív osztók összege (σ(n)), ez multiplikatív, képlet a kanonikus alakból. Ha n összetett, akkor σ(n) ≥ n + \sqrt{n} + 1 (vö. VI/4). A páros tökéletes számok jellemzése Mersenne-prímek segítségével. Teljes hatványok felismerése a kanonikus alakból. Egész szám n-edik gyöke mikor racionális. Relatív prím számok szorzata mikor teljes hatvány. A pitagoraszi számhármasok jellemzése, alapmegoldások. A Fermat-sejtés n = 4 esete.

A kongruencia definíciója. A kongruencia egyenlőséghez hasonlító tulajdonságai: ekvivalencia-reláció, és a műveletekkel szemben is barátságos (vö. VII/12). Kongruenciák egyszerűsítése. Ismeretlenes kongruenciák: a lineáris kongruencia és a két egyenletből álló lineáris kongruenciarendszer visszavezetése lineáris diofantikus egyenletre. A megoldás létezésének szükséges és elégséges feltétele és egyértelműsége. A kínai maradéktétel.

Prímszámok: \sqrt{n}-es teszt, szita, hézagtétel (vö. VIII/7,8). Wilson tétele (vö. VIII/6). Az x^{2} ≡ −1 (p) kongruencia megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele, ha p prím (a bizonyításban analízisből felhasználtuk, hogy ha p egy 4k − 1 alakú prím, és p | a^{2} + b^{2}, akkor p | a és p | b). Végtelen sok 4k − 1 alakú és végtelen sok 4k + 1 alakú prím van. Dirichlet tétele (NB, vö. VIII/9,10).

A π(x) függvény. Erdős és Kalmár tétele: az x-nél nem nagyobb prímek szorzatának felső becslése. π(x) felső becslése. Legendre formula (n! kanonikus alakja). A \binom{2n}{n} prímhatvány-osztóinak nagysága. π(x) alsó becslése. Több prímszám van, mint négyzetszám (vö. XII/1d). Csebisev-tétele. A Nagy Prímszámtétel (NB). Az n-edik prím körülbelül n log n (XII/6, NB). Csebisev tételének élesítése (XII/2). A számtani sorozatok prímszámtétele (NB). Az n-edik ak + b alakú prím nagyságrendje (XII/6, NB).

Nevezetes megoldatlan problémák a számelméletben, és a hozzájuk kapcsolódó eredmények (ehhez a részhez a Szalay-könyv nagyon hasznos, számos további érdekesség is van benne). Fermat-sejtés: triviális és alapmegoldások, redukció páratlan prím kitevőre (II/5), Faltings tétele: minden n > 2-re csak véges sok alapmegoldás van (NB), Wiles tétele: a sejtés igaz (NB), három negyedik hatvány összege lehet negyedik hatvány (NB). Páros és páratlan Goldbach-sejtés (vö. XII/4), ezek viszonya (II/4), Vinogradov tétele: a páratlan Goldbach-sejtés egy nagyon nagy korláttól teljesül (NB). Ikerprímek (hármasikrek, vö. I/15, XI/5). Páratlan tökéletes számok (vö. VI/13). A Fermat- és Mersenne-prímek alakja (vö. I/2,4), létezésük kérdései (VII/6c). Prímszámok két négyzetszám között.

A görög és a héber ábécé matematikában használt betűi

alfa  A α  béta B β  gamma Γ γ  delta  Δ δ
epszilon E ε, ϵ dzéta Z ζ  éta  H η  théta  Θ θ, ϑ
ióta  I ι  kappa K κ, κ lambda Λ λ  mű  M μ
nü  N ν  xi  Ξ ξ  pi  Π π, ϖ ró  P ρ, ϱ
szigma Σ σ, ς tau  T τ  üpszilon Υ υ  phi (fi) Φ ϕ, φ
khi  X χ  pszi Ψ ψ  omega Ω ω  digamma  𝟋
alef  ℵ  beth ℶ  daleth ℸ  gimel  ℷ