Mat-tanári szak, első évfolyam, első félév Válaszok a vizsgakérdésekre (1997. december 19.)

1. A két fontos tétel a π(x) alsó becslése és a Csebisev-tétel.

2. a) Nem igaz. Ha egy a > 0 szám tetszőleges többszöröse ab > 0, akkor ez relatív prím lesz például 10ab + 1-hez, vagy bármelyik ab-nél és tíznél nagyobb prímszámhoz.

b) Igaz. Minden egész számnak többszöröse a nulla, ami egyetlen tíznél nagyobb egészhez sem relatív prím, hiszen (0, c) = |c|.

c) Ha p prímszám, akkor nem nulla és nem egység. Tegyük fel, hogy p = ab. Ekkor p | ab, és ezért p | a vagy p | b. Az első esetben a | p miatt p ∼ a, a másodikban p ∼ b.

d) Ez a kitüntetett közös osztó kiemelési tulajdonsága: (ac, bc) = (a, b)|c|.

e) Nem, például a = b = c = 2 esetén d = D = 2, és 2 · 2 ≠ 2 · 2 · 2.

3. a) Nem: (2, 3) = 1, d(2)+σ(2) = 5, d(3)+σ(3) = 6, d(2·3)+σ(2·3) = 16, de 5·6 ≠ 16. b) Nincs megoldása. Mivel xy és xy + 1 pozitív, relatív prím számok, és szorzatuk teljes

nyolcadik hatvány, ezért mindkettő teljes nyolcadik hatvány. De két pozitív teljes nyolcadik hatvány különbsége mindig nagyobb, mint 1 (ez például szorzattá alakítással látható).

c) Nem: ha 2abd prím, akkor 2abd = 2, így a = b = 1, azaz (a^{2} − b^{2})d = 0.

d) Nem oldható meg, mert 3 | (24, 42) nem osztója 100-nak. (Alkalmaztuk a lineáris kongruencia megoldhatóságáról szóló tételt.)

4. a) 0. Ha p = 2^{n}−1 prím, akkor n > 1, ezért a p prím 4k−1 alakú, így az implikáció igaz. c) A k^{2}+1 nem számtani sorozat. Az ak+b számtani sorozatnál a és b rögzített számok,

miközben k változik, az a nem függhet a k-tól.

d) Azt kell megszámolni, hogy egy nagy x számig több köbszám van-e, mint prímnégyzet. A köbszámok száma még a nullával együtt is csak [\sqrt[3]{x}]+1 ≤ \sqrt[3]{x}+1, viszont prímnégyzetből π(\sqrt{x}) ≥ \sqrt{x}/4 log_{2} \sqrt{x} darab van. Az utóbbi az előbbihez képest nyilván végtelenhez tart, tehát prímnégyzetből jóval több van, mint köbszámból.

e) Igen, Vinogradov tétele miatt. Ha n páratlan, és elég nagy, akkor három prím elég. Ha páros, akkor n − 3 páratlan, ezért ha elég nagy, akkor három prím összege, vagyis n négy prím összege.

5. a) Az uv = −p/3 összefüggés miatt pont azok, ahol p = 0.

b) Zárt körlap. Ugyanis H nyilván az 1 + i középpontú, 2 sugarú zárt körlap, K pedig ebből −90 fokos forgatással, majd a valós tengelyre való tükrözéssel adódik.

c) Nincs, a negyedrendű elemek negyedik hatványa 1 és nem i.

d) Nem, például o(−1) = 2 de (−1) · (−1) = 1 rendje 1 és nem 2 · 2.