Mat-tanári szak, első évfolyam, első félév Vizsgadolgozat — 1998. január 15.

Minden kérdéscsoportot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Aki felírja az email címét is, annak a javító igyekszik mihamarabb az eredményét emailben elküldeni.

Valamennyi megoldásban indoklás (azaz bizonyítás vagy ellenpélda) szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. A kétpontos kérdésekre a válasz általában mindössze egy-két sor, ami sokszor csak egy hivatkozás egy tételre (ez lehet olyan is, amit az előadáson nem bizonyítottunk) vagy egy definícióra. Ne keressünk hosszú, vagy trükkös megoldásokat. A két pont a teljesen helyes és precíz válaszért jár. Aki hibázik, de a lényeget látja, az egy pontot kap, ha a lényeg hiányzik, nulla pontot.

A vizsgán az átmenés szükséges és elégséges feltétele: Lényegében helyesen (azaz apróbb hibáktól eltekintve) le kell írni az első feladatban a bizonyítást, ÉS meg kell szerezni a dolgozat összpontszámának felét. Jeles az összpontszám 80 százalékáért jár (ha megvan a bizonyítás is).

1. (8 pont)

Mondjuk ki Dirichlet tételét (2 pont) és bizonyítsuk be a 4k + 1-re vonatkozó speciális esetét (4 pont, hibánként egy pont levonás). A bizonyításban felhasznált segédtételt (a^{2} + b^{2} prímosztóiról) pontosan ki kell mondani (2 pont), de nem kell bizonyítani.

2. (2+2+2+2+2+2=12 pont)

a) Igaz-e, hogy minden pozitív n egészhez van olyan egész szám, amelyik relatív prím az n minden többszöröséhez?

b) Igaz-e, hogy minden pozitív n egészhez van olyan egész szám, amelyik nem relatív prím az n egyetlen többszöröséhez sem?

c) Mutassuk meg (csak a definícióra támaszkodva), hogy a kitüntetett közös többszörös asszociáltság erejéig egyértelmű.

d) Mondjuk ki precízen azt az állítást, amiből a kitüntetett közös osztó kiemelési tulajdonságát levezettük. Bizonyítani semmit sem kell.

e) Mondjuk ki precízen a számelmélet alaptételét. Bizonyítani nem kell.

f) Igaz marad-e a két szám kitüntetett közös osztójára vonatkozó képlet, ha a szereplő számok felírásában megengedjük, hogy egyazon prím hatványai (egy számon belül) többször is szerepeljenek?

Fordíts! Typeset by AMS-TEX 2 Mat-tanári vizsga (első évfolyam első félév) — 1998. január 15.

3. (2+2+2+2+2+2=12 pont)

a) Mondjuk ki precízen azt a lemmát (két relatív prím szám szorzatának osztóiról), amit a σ függvény multiplikativitásának bizonyításához használtunk fel. Bizonyítani semmit sem kell.

b) Igaz-e, hogy egy páros tökéletes szám pozitív osztóinak száma mindig egy prímszám kétszerese?

c) Lehet-e egy pitagoraszi számhármas mindhárom tagja kettő-hatvány?

d) Hány triviális alapmegoldása van a Fermat-sejtésnek az egész számok körében a 17 kitevőre?

e) Van-e olyan x ∈ ℤ, melyre x ≡ 100 (42) és x ≡ 200 (66) is teljesül?

f) Melyik az a legnagyobb egész n szám, amire igaz az alábbi következtetés: ha a ≡ b (20) és b ≡ c (40), akkor a ≡ c (n).

4. (2+2+2+2=8 pont)

a) Mi lehet egy Fermat-prím utolsó számjegye a hármas számrendszerben?

b) Soroljuk fel azokat a tételeket (de csak azokat, különben levonás jár!), melyek bizonyításában felhasználtuk az Erdős-Kalmár tételt.

c) Osztható-e 97-tel \binom{278}{139}?

d) Nagy N számok esetén az N-edik 14k + 9 alakú prímszám, vagy az N-edik 11k + 3 alakú prímszám a nagyobb?

5. (2+2+2+2+2=10 pont)

a) Tegyük fel, hogy amikor az x^{3} + px + q = 0 harmadfokú egyenletet megoldjuk a Cardano-képlettel, akkor u = v jön ki. Következik-e ebből, hogy az egyenletnek van többszörös gyöke?

b) Legyen H = {z ∈ ℂ : |z − i − 1| = |z + i + 1|}. Milyen geometriai alakzat a K = \{i · \overline{w} ∈ ℂ : w ∈ H\} halmaz?

c) Mondjuk ki azt a tételt, ami egy nem nulla komplex szám hatványainak egyenlőségét jellemzi a szám rendje segítségével. Bizonyítani nem kell.

d) Van-e olyan komplex szám, aminek az abszolút értéke 1, és a rendje végtelen?

e) Igaz-e, hogy ha két nem nulla komplex szám rendje egyenlő és véges, akkor ők egymás hatványai?