Mat-tanári szak, első évfolyam, első félév Vizsgadolgozat — 1997. december 19.

Minden kérdéscsoportot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Aki felírja az email címét is, annak a javító igyekszik mihamarabb az eredményét emailben elküldeni.

Valamennyi megoldásban indoklás (azaz bizonyítás vagy ellenpélda) szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. A kétpontos kérdésekre a válasz általában mindössze egy-két sor, ami sokszor csak egy hivatkozás egy tételre (ez lehet olyan is, amit az előadáson nem bizonyítottunk) vagy egy definícióra. Ne keressünk hosszú, vagy trükkös megoldásokat. A két pont a teljesen helyes és precíz válaszért jár. Aki hibázik, de a lényeget látja, az egy pontot kap, ha a lényeg hiányzik, nulla pontot.

A vizsgán az átmenés szükséges és elégséges feltétele: Lényegében helyesen (azaz apróbb hibáktól eltekintve) le kell írni az első feladatban a bizonyítást, ÉS meg kell szerezni a dolgozat összpontszámának felét. Jeles az összpontszám 80 százalékáért jár (ha megvan a bizonyítás is).

1. (14 pont)

Mondjuk ki precízen (2 pont) és bizonyítsuk be (4 pont, hibánként egy pont levonás) a \binom{2n}{n} prímhatvány-osztóiról szóló lemmát. A bizonyításban felhasznált két segédtételt (a Legendre-formulát (2 pont), illetve a [2x]-ről szólót (2 pont)) pontosan ki kell mondani, de nem kell bizonyítani. Mondjuk ki precízen azt a két fontos tételt is, aminek a bizonyításában ezt a lemmát alkalmaztuk (2+2 pont).

2. (2+2+2+2+2=10 pont)

a) Igaz-e, hogy minden pozitív egésznek van olyan többese a pozitív egész számok között, ami egyetlen tíznél nagyobb számhoz sem relatív prím?

b) Igaz-e, hogy minden pozitív egésznek van olyan többese az egész számok között, ami egyetlen tíznél nagyobb számhoz sem relatív prím?

c) Bizonyítsuk be, hogy minden prímszám felbonthatatlan.

d) Mondjuk ki pontosan azt a kitüntetett közös osztóra vonatkozó azonosságot, amiből beláttuk, hogy minden felbonthatatlan szám prím. Bizonyítani semmit nem kell.

e) Legyenek a, b, c pozitív egészek, d a kitüntetett közös osztójuk, és D a kitüntetett közös többszörösük. Igaz-e mindig, hogy dD = abc?

Fordíts! Typeset by AMS-TEX 2 Mat-tanári vizsga (első évfolyam első félév) — 1997. december 19.

3. (2+2+2+2=8 pont)

a) Multiplikatív-e a d(n) + σ(n) függvény?

b) Oldjuk meg az xy(xy + 1) = 10^{8} egyenletet a pozitív egészek körében.

c) Lehet-e egy pitagoraszi számhármas mindhárom tagja prímszám?

d) Megoldható-e a 24x ≡ 100 (42) kongruencia az egész számok körében?

4. (2+2+2+2+2=10 pont)

a) Hány olyan p Mersenne-prím van, amire nem teljesül az alábbi következtetés: (∀a, b ∈ ℤ)(p | a^{2} + b^{2} ⟹ p | a)?

b) Mondjuk ki pontosan a számtani sorozatok prímszámtételét.

c) Hol a hiba az alábbi gondolatmenetben? „Belátjuk, hogy végtelen sok p prím van, melyre p − 1 négyzetszám. Dirichlet tételét alkalmazzuk. Legyen a = k és b = 1. Ezek relatív prímek, és ezért az ak+b sorozatban végtelen sok prím van. De ezek mindegyike k^{2} + 1 alakú.”

d) Miből van több, köbszámból, vagy p^{2} alakú számból, ahol p prím? A válaszhoz hozzátartozik a kérdés pontos értelmezése is.

e) Előáll-e minden elég nagy egész szám legfeljebb hat darab prímszám összegeként?

5. (2+2+2+2=8 pont)

a) Melyek azok az x^{3} + px + q = 0 harmadfokú egyenletek, melyeknél a Cardano-képletben u és v valamelyikére nulla jön ki?

b) Legyen H = {z ∈ ℂ : |z − i − 1| ≤ 2}. Milyen geometriai alakzat a K = \{w ∈ ℂ : i · \overline{w} ∈ H\} halmaz?

c) Van-e az i számnak olyan negyedik gyöke, aminek a rendje négy?

d) Igaz-e, hogy ha két nem nulla komplex szám rendje véges, akkor szorzatuk rendje egyenlő a rendjeik szorzatával?