Az állításokat, definíciókat a legprecízebben úgy mondhatjuk ki, ha logikai formulával (azaz a matematika formális nyelvén) írjuk le őket. Ez mankóként segíthet, ha a dolog bonyolult, és már az eltévelyedés határán állunk, hasonlóan ahhoz, ahogy komplikált szöveges feladatokat is könnyebb egyenlettel megoldani, mint fejben. Ugyanakkor a formulákat emberi szavakkal is vissza kell tudjuk adni, hiszen így lehet megérteni, megjegyezni és használni az általuk kifejezett fogalmakat. A logikailag helyes gondolkodás megtanítása a középiskolában fontosabb, mint bármilyen konkrét matematikai tananyagé.

Az alábbi feladatok (melyek egy része Varga Tamás: Matematikai logika kezdőknek című könyvéből származik) segítenek ezeknek a készségeknek a gyakorlásában. Emlékeztetőül a szokásos logikai műveletek:

jel  kiejtés  akkor hamis, ha  név
¬A  nem A  A igaz  negáció
A ∨ B  A vagy B  mindkét tag hamis  diszjunkció
A ∧ B  A és B  legalább egy tag hamis  konjunkció
A ⟹ B  ha A, akkor B  A igaz és B hamis  implikáció
A ⟺ B  A akkor és csak akkor, ha B  egyik igaz, másik hamis ekvivalencia

Használjuk még az úgynevezett kvantorokat is: ∃ (az egzisztenciális kvantor) a ,létezik’, ∀ (az univerzális kvantor) a ,minden’ rövidítése.

1. Rövidítse L azt a mondatot, hogy „A ló emlős”, N azt, hogy „A három negatív szám”, P pedig azt, hogy „Az Anyegint Puskin írta”. Döntsük el az alábbi formulákról, hogy igazak-e: L∧N, L∨N, L ⟹ N, N ⟹ L, L∧P, N ⟹ N, (L∨N) ⟹ P, (L∧N) ⟺ N.

2. Jelentse P (x) azt, hogy x páros, H(x) pedig, hogy x hattal osztható. Az alábbi formulákat fordítsuk le emberi nyelvre, és döntsük el, igazak-e, vagy sem (x, y, z, t ∈ ℤ).

a) P (4) ∧ H(12).

b) ∀x(P (x) ⟹ H(x)). Jó-e a „minden, ami páros, hattal osztható” fordítás?

c) ∃x(H(x) ⟹ ¬P (x)). Jó-e a „van olyan hattal osztható, ami páratlan” fordítás?

d) ∃x(P (x) ∧ H(x)). Jó-e a „van olyan páros, ami hattal osztható” fordítás?

e) ∃x(P (x) ∧ H(x + 1)).

f) ∀x(H(x) ⟹ P (x)).

g) ∀x(¬H(x) ⟹ ¬P (x)). Hogyan ,fordítható meg’ a b)-beli implikáció?

h) ∀x((H(x) ∧ P (x + 11)) ⟹ (P (x + 10) ∧ (2 · 2 = 5)).

i) ∀x((H(x) ∧ P (x + 11)) ⟹ igaz a páros Goldbach-sejtés).

j) ∀x∃yP (x + y).

k) ∃y∀xP (x + y). Megcserélhetők-e a ∃ és a ∀ kvantorok?

l) ∀y∃x¬P (x + y). Ez az előző formula tagadása?

m) ∀x(P (x) ⟺ ∃y(x = 2y)).

n) ∀x∀y(3 | xy ⟹ (3 | x ∨ 3 | y)).

o) ∀x(∀y(x | y) ⟹ (x = 1 ∨ x = −1)).

p) ∀x∀y∃z(z | x ∧ z | y ∧ ∀t((t | x ∧ t | y) ⟹ t | z)).

q) ∀x∀y(3 = xy ⟹ (∀z(x | z) ∨ ∀z(y | z))).

r) ∃x(4 | x ∧ (∀y∀z(x | yz ⟹ (x | y ∨ x | z)))).

s) ∀x((x | 4 ∧ (∀y∀z(x | yz ⟹ (x | y ∨ x | z))) ∧ (x ≠ 0)) ⟹ (x = 2 ∨ x = −2)).

3. Az alábbi mondatokat írjuk fel logikai formulával.

a) „Vagy elhallgatsz, vagy kiküldelek.” (E: elhallgatsz, K: kiküldelek.)

b) „Ma vagy moziba megyünk, vagy cukrászdába.” (M: ma moziba megyünk, C: ma cukrászdába megyünk.)

c) „Gyűlölöm, de azért tisztelem.” (G: gyűlölöm, T: tisztelem.)

d) „Senki sem tehet mindenkinek kedvére.” (K(x, y): x kedvére tehet y-nak.)

e) „Ha nincs mindenkinek párja, akkor valaki előrejön.” (P (x, y): x párja y-nak, E(x): x előrejön.)

f) „Nem illik rá minden lábra ugyanaz a cipő.” (L(x): x láb, C(x): x cipő, R(x, y): x ráillik y-ra.) Jó-e a ¬∃x∀y[(C(x) ∧ L(y)) ⟹ R(x, y)] megoldás?

g) „Ha valaki Klárit csókolja meg, Klári jókedvre derül; de ha valaki Sárit csókolja meg, kap tőle egy pofont.” (C(x, y): x megcsókolja y-t, J(x): x jókedvre derül, P (x, y): x pofont kap y-tól, k: Klári, s: Sári.) Jó-e az alábbi formulák valamelyike:

(1) (∃xC(x, k) ⟹ J(k)) ∧ (∃xC(x, s) ⟹ P (x, s)),

(2) (∃xC(x, k) ⟹ J(k)) ∧ ∃x(C(x, s) ⟹ P (x, s)),

(3) (∃xC(x, k) ⟹ J(k)) ∧ ∃x(C(x, s) ∧ P (x, s)).

h) „Kiki a maga szerencséjének kovácsa.” (K(x, y): x az y szerencséjének kovácsa.)

i) „Bolonddá lehet tenni mindig némelyeket, és néha mindenkit, de nem lehet mindig mindenkit bolonddá tenni.” (B(t, x): bolonddá lehet tenni a t időpontban x-et. Hogy egyszerűbb formulát kapjunk, tegyük fel, hogy t mindig időpontot, x embert jelöl.)

j) „Senki senkinek nem hiszi el a szavát.” (E(x, y): x elhiszi y szavát.) Helyes-e a

¬∃x¬∃yE(x, y) megoldás? A most következő feladatokban a jelöléseket is meg kell találni.

k) „Okos embernek néha változik a véleménye, ostobának soha.”

l) „Aki mindenkinek tetszeni akar, az senkinek sem tetszik.”

m) „Akinek birtoka van, az a birtokáé.”

n) „Nem minden szarka farka tarka, csak a tarka farkú szarka farka tarka.”

4. Írjuk fel formulával, az összeadás, kivonás, szorzás és az oszthatóság jelét használva az egység, felbonthatatlan, és prím fogalmát (a 2. feladat segít). A vizsgára készüléshez érdemes az összes definíció és tétel állítását formulával felírni.

5. Mutassuk meg, hogy az alábbi azonosságok igazak tetszőleges A, B, C, F (x) esetén. Adjunk rájuk olyan köznapi példamondatpárt, amelyről „érezzük”, hogy ugyanazt jelentik.

a) A ∧ B ≡ B ∧ A és A ∨ B ≡ B ∨ A (kommutativitás).

b) A ∧ A ≡ A és A ∨ A ≡ A (idempotencia).

c) (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) és (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) (asszociativitás).

d) (A∧B)∨C ≡ (A∨C)∧(B ∨C) és (A∨B)∧C ≡ (A∧C)∨(B ∧C) (disztributivitás).

e) ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B és ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B (De Morgan szabályok).

f) ¬¬A ≡ A és ¬A ∨ B ≡ A ⟹ B.

g) A ⟹ B ≡ ¬B ⟹ ¬A (kontrapozíció).

h) A ⟺ B ≡ (A ⟹ B) ∧ (B ⟹ A) és A ⟹ (B ⟹ C) ≡ (A ∧ B) ⟹ C.

i) ¬∃xF (x) ≡ ∀x¬F (x) és ¬∀xF (x) ≡ ∃x¬F (x).

j) ∀x(F (x) ⟹ A) ≡ ∃xF (x) ⟹ A és ∃x(F (x) ⟹ A) ≡ ∀xF (x) ⟹ A.

k) ∀x(A ⟹ F (x)) ≡ A ⟹ ∀xF (x) és ∃x(A ⟹ F (x)) ≡ A ⟹ ∃xF (x).