Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Kilencedik alkalom

A komplex számok az a + bi alakú formális kifejezések, ahol a és b valós számok. Számolni is úgy kell velük, mint formális kifejezésekkel, de annak felhasználásával, hogy i^{2} = −1. A z = a + bi komplex szám valós része Re(z) = a, képzetes része Im(z) = b (tehát a képzetes rész nem bi, hanem valós szám). Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlőek. A z = a + bi szám konjugáltja \overline{z} = a − bi, abszolút értéke |z| = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}. Érvényesek az alábbi azonosságok:

\overline{z ± w} = \overline{z} ± \overline{w} ,  \overline{z · w} = \overline{z} · \overline{w} ,  \overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}

(azaz a konjugálás összeg-, különbség-, szorzat- és hányadostartó), továbbá

|z · w| = |z| · |w| , |z/w| = |z|/|w| , 1/z = \overline{z}/|z|^{2} .

Az osztást tehát úgy végezhetjük el, hogy a törtet a nevező konjugáltjával bővítjük.

A komplex számokat a síkon ábrázolhatjuk, az a + bi-nek az (a, b) pontot, vagy az origóból az (a, b) pontba mutató vektort feleltetve meg. Ekkor az x-tengely éppen a valós számegyenes, és a komplex számok összeadása éppen a vektorösszeadás. A nemnegatív valós számok által alkotott félegyenestől a z = a + bi ≠ 0-nak megfelelő vektorig pozitív irányba terjedő irányított szöget a z szögének nevezzük, ennek jele arg(z). Ez a szög tehát nemnegatív, és kisebb mint 2π. Pitagorasz tétele miatt z abszolút értéke éppen a neki megfelelő vektor hossza, és így, ha z szöge α, és abszolút értéke r, akkor

z = r(cos α + i sin α) .

Ezt a felírást a z trigonometrikus alakjának nevezzük. Jelentősége a következő összefüggésekben rejlik (amelyek a sin és cos függvények addíciós képletének felhasználásával igazolhatóak). Ha w = s(cos β + i sin β), akkor

zw = rs(cos(α + β) + i sin(α + β)) , z/w = (r/s)(cos(α − β) + i sin(α − β)) . Tehát komplex számok szorzásnál a szögek összeadódnak, az abszolút értékek (azaz a hosszak) összeszorzódnak.

1. Végezzük el az alábbi műveleteket:

(1 + i)(3 − 2i) , 1/i , (1 + i)/(3 − 2i) , |\overline{(4 + i)}/(4 + i)| .

2. Rajzoljuk le a síkon az alábbi halmazokat.

a) {z ∈ ℂ : |z − i − 1| ≤ 3}.

b) {z ∈ ℂ : Re(z + i) > 1}.

c) \{z ∈ ℂ : z + \overline{z} = −1\}.

3. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) x^{2} + 2x + 2 = 0.

b) x^{2} + 2ix − 1 = 0.

4. Határozzuk meg azokat a c + di számokat, melyek négyzete 20i − 21. Oldjuk meg az x^{2} + (i − 2)x + (6 − 6i) = 0 egyenletet.

Folyt. köv. Typeset by AMS-TEX 5. Hol a hiba a következő levezetésben?

1 = \sqrt{1} = \sqrt{(−1) · (−1)} = \sqrt{−1} · \sqrt{−1} = i · i = −1 .

6. Írjuk fel az alábbi komplex számokat trigonometrikus alakban:

1 + i , 1 − i , \sqrt{3} + i , −1 − \sqrt{3}i .

7. Határozzuk meg (\sqrt{3} + i)^{1997} értékét.

8. Legyenek z és w különböző komplex számok.

a) Írjuk fel az őket összekötő szakasz felezőpontját.

b) Írjuk fel annak a két szabályos háromszögnek a harmadik csúcsát, illetve a középpontját, melyeknek az adott két szám két csúcsa.

9. Egy háromszög oldalaira kifelé szabályos háromszögeket rajzolunk. Mutassuk meg, hogy ezek középpontjai is szabályos háromszöget alkotnak.

Gyakorló feladatok

10. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) x^{2} − (2 + i)x + 7i − 1 = 0.

b) (2 + i)x^{2} − (5 − i)x + 2 − 2i = 0.

c) x = (3 + 2i)\overline{x}.

d) x = 2 · Re(x).

11. Rajzoljuk le az alábbi halmazokat.

\{z ∈ ℂ : |z| = iz\} ,  \{z ∈ ℂ : |z − i − 1| = |z + 2|\} ,  \{z ∈ ℂ : 1/z = \overline{z}\}

12. Számítsuk ki (1 − i)^{1997} és (cos 30^{∘} + i sin 60^{∘})^{1111} értékét.

13. Egy négyszög oldalaira kifelé négyzeteket rajzolunk. Kössük össze az átellenes oldalakra rajzolt négyzetek középpontjait. Mutassuk meg, hogy az így kapott két szakasz merőleges, és egyenlő hosszú.

14. Mutassuk meg, hogy a z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} páronként különböző komplex számok akkor és csak akkor vannak egy körön vagy egyenesen, ha kettősviszonyuk, azaz a

(z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}) = \frac{z_{3} − z_{1}}{z_{3} − z_{2}} / \frac{z_{4} − z_{1}}{z_{4} − z_{2}}

kifejezés valós szám.

15. Igazoljuk komplex számok felhasználásával Ptolemaiosz tételét: ha egy négyszög oldalainak hossza rendre a, b, c, d, átlóinak hossza pedig e és f, akkor ac + bd ≥ ef, és egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha a négyszög húrnégyszög.

16^{∗}. Legyen z = cos(α/2) + i sin(α/2). A z^{2} + z^{4} + ⋯ + z^{2n} kifejezést kétféleképpen kiszámítva igazoljuk, hogy

sin α + sin 2α + ⋯ + sin nα = \frac{sin \frac{(n + 1)α}{2} · sin \frac{nα}{2}}{sin \frac{α}{2}} .

Keressünk hasonló zárt képletet cos α + cos 2α + ⋯ + cos nα-ra is.