Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Nyolcadik alkalom

Dirichlet tétele: ha a és b relatív prím egész számok, akkor az ak + b számtani sorozatban (k ∈ ℤ) végtelen sok prímszám van. Csebisev tétele: minden pozitív egész szám és a kétszerese között van prímszám. Wilson tétele: ha p > 0 prím, akkor (p − 1)! ≡ −1 (p).

1. Igazoljuk a Dirichlet-tétel felhasználása nélkül, hogy végtelen sok 6k − 1, illetve nem 8k + 1 alakú prím van.

2. Van-e akármilyen nagy, a tizes számrendszerben eggyel kezdődő prím?

3. Van-e olyan prím, melyet a tizes számrendszerben felírva a számjegyek összege legalább egymillió?

4. Bizonyítsuk be, hogy a Fermat- és a Mersenne prímeken kívül még végtelen sok prímszám van.

5. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges p prímre (2p − 1)! ≡ p (p^{2}).

6. Tegyük fel, hogy n > 0 egész, de nem prím. Mivel lesz kongruens (n − 1)! modulo n?

7^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy vannak „izolált” prímek, azaz minden N pozitív egészhez létezik olyan p prím, hogy p − N és p + N között nincs más prím, csak p. Logikailag hogyan viszonylik ez az állítás a hézagtételhez?

Gyakorló feladatok

8. Csak a hézagtételre, és nem a bizonyítására való hivatkozással mutassuk meg, hogy minden N pozitív egészhez végtelen sok olyan szomszédos prímpár van, amelyek közötti távolság nagyobb, mint N.

9. Tegyük fel, hogy beláttuk a következő állítást: ha a és b tetszőleges relatív prím egész számok, akkor az ak + b számtani sorozatban (k ∈ ℤ) van prímszám. Vezessük le ebből az állításból Dirichlet tételét.

10. Tegyük fel, hogy az a és b egész számok nem relatív prímek. Hány prímszám lehet legfeljebb az ak + b sorozatban, ahol k ∈ ℤ?

11. Van-e olyan prím, mely tizes számrendszerbeli alakjában legalább száz nulla szerepel?

12. Igaz-e a következő állítás: egy tizes számrendszerben felírt pozitív számnak mindig meg lehet egy alkalmasan választott jegyét változtatni úgy, hogy prímet kapjunk?

13. Határozzuk meg az összes olyan n pozitív egészet, melyre n, n + 1, n + 2, n + 3 mindegyike prímhatvány.

14. Van-e végtelen sok 8k − 1 alakú szám, ami hat különböző prím szorzata?

15. Bizonyítsuk be, hogy létezik végtelen sok természetes szám, mely nem írható fel egy négyzetszám és egy pozitív prímszám összegeként.

16^{∗}. Az úttörőtábor gyülekező terét m fa állja körbe, mindegyiken egy mókus ül. A mókusok össze akarnak gyűlni egy fán, de csak úgy változtathatják a helyüket, hogy mindig egyszerre két mókus ugrik át a szomszédos fára, ellenkező körüljárási irányban. Milyen m esetén tudnak összegyűlni a mókusok?