Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Hetedik alkalom

1. Racionálisak-e a \sqrt[6]{72}, 2 + \sqrt[3]{9}, \sqrt{2} + \sqrt{3} számok?

2. Mutassuk meg, hogy ha n > 2 egész, akkor tagja egy pitagoraszi számhármasnak. Mely n pozitív egészek lehetnek egy alapmegoldás tagjai?

3^{∗}. Van-e olyan derékszögű háromszög, melynek oldalai egészek, és területe négyzetszám?

4. Mutassuk meg, hogy ha x^{3} + y^{3} = z^{3}, ahol x, y, z ∈ ℤ, akkor e három szám valamelyike osztható héttel (persze nem szabad felhasználni, hogy csak triviális megoldás van).

5. Mutassuk meg, hogy a Fermat-sejtésnek nincs megoldása a pozitív prímek körében.

Az alábbi feladatokat, és a VI/7. feladatot kongruenciákkal oldjuk meg.

6. Igazoljuk az alábbi oszthatóságokat tetszőleges n ≥ 0 egészre.

a) 7 | 2^{n+2} + 3^{2n+1}.

b) 13 | 2^{70} + 3^{70}.

c) 641 | 2^{25} + 1 (Euler). Használjuk fel, hogy 2^{7} · 5 = 640 ≡ −1 (641) és 2^{4} ≡ −5^{4} (641).

d) 19 | 2^{26n+2} + 3. (Mi lesz 2^{26} maradéka modulo 19?)

e) a − b | a^{n} − b^{n} (a, b ∈ ℤ).

7. Egy bolha ugrál egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy mindig k élnyit halad előre. Hányat kell ugrania, hogy visszakerüljön a kiindulópontba? Hány kört tesz meg ezalatt?

8. Az egészkor elindított szalagról 14 percenként jön le egy tévé. Mutathat-e az óránk egy ilyen pillanatban egész óra 27 percet? És egész óra 2 percet? Mikor fordul ez először elő?

9. Adjuk meg az összes olyan ötszáznál kisebb pozitív egészet, mely a tizes számrendszerben kilencre, a tizenhármas számrendszerben egyre végződik.

10. A 210 alapú számrendszerben hány olyan egyjegyű szám van, melynek négyzete egyre végződik? Általánosítsuk a feladatot!

11. Egy kisbaba ötóránként eszik (éjjel-nappal), először hétfő reggel nyolckor. a) Melyek azok a napok az első két héten (vasárnapig bezárólag), amikor délben eszik?

b) Melyik az első olyan hét, amikor a menetrend az első hetivel azonos?

12. Legyen a, b, c, d, n, m ∈ ℤ, m, n > 0, n | m. Mely állítások igazak az alábbiak közül? a) a ≡ b (m) ⟹ a ≡ b (n). Igaz-e a megfordítás?

b) a ≡ b (m) és c ≢ d (m) ⟹ a + c ≢ b + d (m).

c) a ≡ b (m) és c ≢ d (m) ⟹ ac ≢ bd (m).

d) a ≢ b (m) és c ≢ d (m) ⟹ a + c ≢ b + d (m).

e) A ≢ (m) reláció tranzitív.

13. Legyen n pozitív egész. Mely k értékekre szabad „k-adik gyököt vonni” az a^{k} ≡ b^{k} (2^{n}) kongruenciából tetszőleges páratlan a, b esetén?

14^{∗}. Egy gépen a legnagyobb ábrázolható egész szám értéke 2^{15} − 1 = 32767. A kínai maradéktétel felhasználásával tervezzünk olyan programot, amely tetszőleges két, legfeljebb hatjegyű, tizes számrendszerbeli számot ábrázolni, összeadni és összeszorozni képes.