Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Hatodik alkalom

1. Melyik az a legkisebb n > 0 egész szám, melyre d(n) értéke a) 29; b) 30; c) 32?

2. Egy sah börtönének 400 cellájában egy-egy rab sínylődik. A zárak egy elfordításra nyílnak, még egy elfordításra csukódnak. Eredetileg minden ajtó zárva van. A sah elhatározza, hogy nagylelkű lesz, és megparancsolja az egyik őrnek, hogy fordítson egyet valamennyi záron. Közben azonban meggondolja magát, és utánaküld egy másik őrt, hogy minden második záron fordítson egyet. A harmadik őr minden harmadik záron változtat, stb., végül a négyszázadik őr a négyszázadik cella zárjának állását módosítja. Azok szabadulnak ki, akiknek most nyitva áll az ajtaja. Hány rabot bocsátott szabadon a sah?

3. Legyen n pozitív egész.

a) Mely n-ekre lesz d(n) = n − 2?

b) Igazoljuk, hogy d(n) ≤ (n/2) + 1.

c) Igazoljuk, hogy d(n) ≤ 2\sqrt{n}.

4. Adjuk meg a σ(n) = n + k egyenlet összes megoldását abban az esetben, ha k = 5, 14, illetve 1. Mely pozitív k értékekre van végtelen sok megoldása ennek az egyenletnek?

5. Oldjuk meg a σ(2n) = 2σ(n) illetve a σ(2n) = 3σ(n) egyenleteket.

6^{∗∗}. Mely n pozitív egészekre lesz σ(n) kettő-hatvány?

Gyakorló feladatok

7. Igazoljuk az alábbi oszthatóságokat minden pozitív egész n-re.

a) 7 | 4^{n} · 3^{2n} + 6^{2n+1}.

b) 17 | 5^{2n+1}2^{4n} + 3^{4n+1}53^{n+2}.

8^{∗}. Mely n egészekre lesz az 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} összeg egész szám?

9. Működik-e a d(n)-re adott képlet, ha n kanonikus alakjában nulla kitevőjű prím is előfordul? És ha a prímek között egyenlők is vannak?

10. Adjuk meg az összes olyan pozitív n egészet, melyre d(2n) = d(3n).

11. Mely n pozitív egészekre lesz σ(n) páratlan?

12^{∗}. Legyenek a és b pozitív egészek. Határozzuk meg d(ab) és d(a)d(b) nagyságviszonyát (lehet-e az első nagyobb, mint a második, lehet-e fordítva). Mely a, b értékekre egyenlő ez a két szám? Multiplikatív-e a d(n) függvény?

13. Egy pozitív egész számot hiányosnak nevezünk, ha valódi osztóinak összege nála kisebb, és bővelkedőnek, ha ez az összeg nála nagyobb.

a) Bizonyítsuk be, hogy minden prímhatvány hiányos.

b) Van-e páratlan bővelkedő szám?

c) Bizonyítsuk be, hogy egy bővelkedő szám minden többese bővelkedő.

14. Egy n szám pozitív osztóinak összegét elosztjuk ugyanezen osztók reciprokainak összegével. Mi lesz az eredmény?