Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Ötödik alkalom

Legyen a, b ∈ ℤ. Azt mondjuk, hogy c ∈ ℤ kitüntetett közös többszöröse az a és b számoknak, ha közös többszörös (azaz a | c, b | c), és minden közös többesnek osztója (azaz ha d ∈ ℤ és a | d, b | d, akkor c | d). A k. k. t. is asszociáltság erejéig egyértelmű, jelölje [a, b] a lehetséges értékek közül a nemnegatívat.

1. Legyen az a és b nem nulla egészek közös kanonikus alakja a = ep_{1}^{α_{1}}p_{2}^{α_{2}} … p_{k}^{α_{k}} és b = fp_{1}^{β_{1}}p_{2}^{β_{2}} … p_{k}^{β_{k}}, ahol e és f egységek, p_{1}, …, p_{k} felbonthatatlan egészek, és α_{i}, β_{i} nemnegatív egészek (1 ≤ j ≤ k).

a) Mutassuk meg, hogy d akkor és csak akkor kitüntetett közös osztója az a és b szá-

moknak, ha

d ∼ p_{1}^{min(α_{1},β_{1})}p_{2}^{min(α_{2},β_{2})} … p_{k}^{min(α_{k},β_{k})} .

b) Mutassuk meg, hogy az előző állításbeli képlet, ha min helyett minden kitevőbe maxot írunk, a k. k. t.-t adja meg, és így a kitüntetett közös többes létezik. Igazoljuk, hogy a k. k. t. asszociáltság erejéig egyértelmű.

c) Igazoljuk, hogy (a, b)[a, b] = |ab|.

d) Mutassuk meg, hogy ha a | c, b | c és a, b relatív prímek, akkor ab | c.

e) Általánosítsuk két elem kitüntetett közös osztójának és többesének fogalmát több elemre. Mutassuk meg, hogy minden számhalmaznak van k. k. o.-ja, és minden véges számhalmaznak van k. k. t.-je.

f) Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy az a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{n}x_{n} = b egyenlet megoldható legyen (a_{1}, …, a_{n}, b ∈ ℤ, az x_{1}, …, x_{n} értékét is ℤ-ben keressük).

2. Tegyük fel, hogy a, b, c ∈ ℤ, és az ax + by = c egyenletnek van egy (x_{0}, y_{0}) egész megoldása. Mutassuk meg, hogy ekkor az egyenlet összes megoldása

x = x_{0} + r \frac{b}{(a, b)} ,  y = y_{0} − r \frac{a}{(a, b)}  (r ∈ ℤ) .

3. Tudjuk, hogy a ℤ-beli p prím negyedik hatványa osztja c^{2}−25-öt. Mely p-kre következik ebből, hogy p^{4} osztója c − 5-nek vagy c + 5-nek?

4. Mutassuk meg, hogy minden pozitív egész szám egyértelműen felbontható egy négyzetszám és egy négyzetmentes szám szorzatára (egy szám négyzetmentes, ha nem osztható 1-nél nagyobb négyzetszámmal.

5. Mely k egész számokra igaz, hogy a) (∀a ∈ ℤ)(k | a^{2} ⟹ k | a)?

b) (∀a ∈ ℤ)(∀b ∈ ℤ) ((k | ab és k ∤ a) ⟹ (∃n ∈ ℤ)(n ≥ 1 és k | b^{n})).

6. Igazoljuk, hogy semmilyen n egészre nem egyszerűsíthető a (8n + 5)/(5n + 3) tört.

7^{∗}. Az 1-től 2n-ig terjedő számok közül ki akarunk választani néhányat úgy, hogy egyik se ossza egyik másikat se. Mutassuk meg, hogy n szám kiválasztható így, de n + 1 már nem. (Ötlet: Minden 1 és n közötti számot meg lehet szorozni egy kettő-hatvánnyal úgy, hogy n + 1 és 2n közé essen.)