Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Negyedik alkalom

1. A múltkori 10. feladatban vizsgált páros számok körében keressük meg a felbonthatatlanokat és a prímeket (az ott definiált oszthatóságra nézve). Igaz-e a számelmélet alaptételének a felbontás létezéséről szóló állítása? És a felbontás egyértelműségéről szóló állítás?

2. Rendelkezésünkre áll egy 17 literes és egy 21 literes kanna. Ezeket akárhányszor megtölthetjük a csapnál, és a tartalmukat (teljes egészében) beönthetjük egy tartályba. Kimérhető-e ezzel a módszerrel 50 liter, illetve 400 liter víz? Ha azt is megengedjük, hogy a tartályból kimerjünk vizet (21 illetve 17 literes egységenként), betölthető-e 50 liter víz?

3. Igazoljuk, hogy ha a és b egészek, akkor (a, b) = (11a + 5b, 9a + 4b).

4. Legyen n egész szám. Határozzuk meg (n^{2} + 1, 2n^{2} + 9) lehetséges értékeit.

5^{∗}. Az asztalon sorba raktunk kétfilléreseket. Ketten a következő játékot játsszák: felváltva kiválasztanak egy, a fej oldalával felfelé álló érmét, és ezt, valamint az összes tőle jobbra lévő pénzdarabot az ellenkező oldalára fordítják. Az veszít, aki már nem tud lépni. Bizonyítsuk be, hogy a játék véges sok lépésben véget ér. A kezdeti állapotról hogyan dönthető el, melyik játékosnak van nyerő stratégiája?

Gyakorló feladatok

6. Határozzuk meg a 9991 és 3589 számok legnagyobb közös osztóját. Keressük meg az összes olyan (x, y) egész számpárokat, melyre 9991x + 3589y = 1649.

7. Egy királyfi hét- és tízfejű sárkányokkal csatázott, és levágta mind a 116 fejüket. Hány sárkányt ölt meg?

8. Legyenek a, b pozitív egészek, (a, b) = 7. Milyen értékeket vehet fel (a + b, a − b)?

9. Határozzuk meg 2^{2^{k}} + 1 és 2^{2^{m}} + 1 legnagyobb közös osztóját, ha k ≠ m nemnegatív egészek. Mutassuk meg az eredmény felhasználásával, hogy végtelen sok prímszám van.

10. Igazoljuk, hogy ha a és b nem nulla egészek, akkor az euklideszi algoritmust a legkisebb abszolút értékű maradékokkal végezve az legfeljebb log_{2} |b| lépésben véget ér.

11. Igaz-e az alábbi állítás az egész számok között: „minden felbonthatatlan szám felbontható felbonthatatlan számok szorzatára”. Nem tartalmazza-e ez a mondat azt a képtelenséget, hogy ami felbonthatatlan, az felbontható? Mit jelentenek a „felbonthatatlan” és „felbontható” szavak ebben a mondatban?

12. Mutassuk meg az egész számok körében az alábbi állításokat.

a) Egységek osztói, szorzata és hányadosa is egység.

b) Ha a ≠ 0 és a = bc, akkor b akkor és csak akkor egység, ha c asszociáltja a-nak. Szükséges-e ebben az állításban az a ≠ 0 kikötés?

c) Ha a, b, r ∈ R és a ∼ b, akkor ar ∼ br.

d) Felbonthatatlan szám asszociáltja is felbonthatatlan.

e) Prímtulajdonságú szám asszociáltja is prímtulajdonságú.

f) Minden prímtulajdonságú szám felbonthatatlan.

g) Ha igaz az alaptétel, akkor minden felbonthatatlan szám prímtulajdonságú.