Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Harmadik alkalom

1. Bizonyítsuk be, hogy az oszthatóság az egész számok körében tranzitív.

2. Milyen b egészekre teljesül, hogy 0 | b? És az, hogy b | 0? Nem okoz-e itt bajt, hogy nullával nem szabad osztani?

3. Mutassuk meg, hogy egy egész szám akkor és csak akkor egység, ha minden egész számnak osztója.

4. Igazoljuk, hogy ha a ∼ a′ és b ∼ b′, akkor a | b ⟺ a′ | b′. Hogyan fogalmazhatjuk meg szavakkal ezt az állítást?

5. Igazoljuk, hogy ha d egy kitüntetett közös osztója az a és b számoknak, akkor a és b kitüntetett közös osztói éppen d asszociáltjai.

6. A maradékos osztás tételében igaz marad-e a q és r létezéséről, illetve egyértelműségéről szóló állítás, ha a 0 ≤ r < |b| feltételt a következővel helyettesítjük:

a) 0 ≤ r < b.

b) 0 ≤ |r| < |b|.

c) |r| ≤ |b|/2 .

7. Határozzuk meg (b, 0) értékét (b ∈ ℤ).

8. Végezzük el az euklideszi algoritmust a 220 és 184 számokra, majd a kapott eredményt a tanult visszahelyettesítési eljárással állítsuk elő 220x + 184y alakban (ahol x, y ∈ ℤ).

9. Bizonyítsuk be az (a, b) = (a − kb, b) azonosságot (a, b, k ∈ ℤ).

10. Legyen P a páros egész számok halmaza. Értelmezzük a P -beli oszthatóságot így: a |_{P} b akkor és csak akkor, ha létezik olyan c ∈ P, hogy ac = b. Így értelmessé válik P -ben az asszociált, az egység, és a kitüntetett közös osztó fogalma is (hiszen ezeket az oszthatóság nyelvén definiáltuk).

a) Igaz-e, hogy |_{P} reflexív? És hogy tranzitív?

b) Határozzuk meg az egységeket P -ben. Mik lesznek a b ∈ P asszociáltjai?

c) Elvégezhető-e (P -ben maradva) a 2 : 2 maradékos osztás?

d) Létezik-e a 4 és 6 számok P -beli kitüntetett közös osztója?

Ismétlő feladatok

11. Mutassuk meg, hogy egyetlen 8k + 7 alakú szám sem állítható elő három négyzetszám összegeként. Igaz-e, hogy a többi pozitív egész előállítható így?

12. Mi 3^{1997} utolsó jegye a tizes számrendszerben? Mi 1996^{19971998} utolsó jegye az 1997 alapú számrendszerben?