Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Második alkalom

1. Mely p prímszámokra lesz p + 1 négyzetszám?

2. Mely egész számok állnak elő két négyzetszám különbségeként?

3. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket az egész számok körében.

a) x^{2} + y^{2} = 60.

b) x^{4} + y^{4} = 97.

c) x^{3} − y^{3} = 91.

d) xy + 2x + 3y = 1.

4. Tegyük fel, hogy minden egymilliónál nagyobb páros egész szám előáll két (pozitív) prímszám összegeként. Mutassuk meg, hogy minden elég nagy páratlan szám előáll három prímszám összegeként.

5. Tegyük fel, hogy beláttuk a következő állítást: „Az x^{n} + y^{n} = z^{n} egyenletnek nincs olyan megoldása, ahol x, y, z pozitív egészek”, abban az esetben, ha n = 4, vagy n páratlan prímszám. Mutassuk meg, hogy ekkor az idézőjelben szereplő állítás minden n ≥ 3 egész számra igaz.

6. Egy téglalap alakú négyzethálós papír 3-mal osztható számú négyzetből áll. Mutassuk meg, hogy valamelyik oldala 3-mal osztható számú négyzetből áll!

Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Második alkalom

1. Mely p prímszámokra lesz p + 1 négyzetszám?

2. Mely egész számok állnak elő két négyzetszám különbségeként?

3. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket az egész számok körében.

a) x^{2} + y^{2} = 60.

b) x^{4} + y^{4} = 97.

c) x^{3} − y^{3} = 91.

d) xy + 2x + 3y = 1.

4. Tegyük fel, hogy minden egymilliónál nagyobb páros egész szám előáll két (pozitív) prímszám összegeként. Mutassuk meg, hogy minden elég nagy páratlan szám előáll három prímszám összegeként.

5. Tegyük fel, hogy beláttuk a következő állítást: „Az x^{n} + y^{n} = z^{n} egyenletnek nincs olyan megoldása, ahol x, y, z pozitív egészek”, abban az esetben, ha n = 4, vagy n páratlan prímszám. Mutassuk meg, hogy ekkor az idézőjelben szereplő állítás minden n ≥ 3 egész számra igaz.

6. Egy téglalap alakú négyzethálós papír 3-mal osztható számú négyzetből áll. Mutassuk meg, hogy valamelyik oldala 3-mal osztható számú négyzetből áll!