Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Tizenkettedik alkalom

A Nagy Prímszámtétel azt mondja ki, hogy

\frac{π(n)}{\frac{n}{log n}} → 1 ha n → ∞

(itt π(x) az x-nél nem nagyobb pozitív prímek száma, és a log a természetes logaritmus). Ha a, b egészek, akkor jelölje π_{a,b}(x) az x-nél nem nagyobb ak + b alakú pozitív prímek számát. Dirichlet tételének élesítése, a számtani sorozatok prímszámtétele azt mondja ki, hogy ha a értékét rögzítjük, akkor mindegyik ak + b számtani sorozatban körülbelül ugyanannyi prímszám van, bárhogy is választjuk az a-hoz relatív prím b számot. Azaz

\frac{π_{a,b}(n)}{\frac{n}{log n}} → \frac{1}{φ(a)} ha n → ∞,

ahol φ(a) az ilyen számtani sorozatok száma, azaz φ(a) = |{1 ≤ j ≤ a | (a, j) = 1}|.

1. Számítsuk ki az alábbi értékeket. Használjuk fel, hogy lim_{n→∞} n^{ε}/ log n = ∞, ha ε > 0. a) π_{12,5}(100).

b) π_{12,3}(234971).

c) π_{12,5}(54807) − π_{12,125}(54807).

d) lim_{n→∞} π_{12,5}(n)/\sqrt{n}. Miből van több, 12k + 5 alakú prímből, vagy négyzetszámból?

e) lim_{n→∞} π_{30,7}(n)/π_{11,5}(n). Miből van több, 30k+7 alakú, vagy 11k+5 alakú prímből?

f) lim_{n→∞} π_{22,17}(2n)/π_{22,17}(n).

2. Bizonyítsuk be a Csebisev-tétel következő általánosítását: van olyan N szám, hogy minden n ≥ N-re n és 1.00001n között van 22k + 17 alakú prím. Még általánosabban: minden a, b relatív prím egészekhez, és ε > 0 valós számhoz van olyan N egész, hogy minden n ≥ N-re n és (1 + ε)n között van ak + b alakú prím.

3. Mutassuk meg, hogy legalább c N^{3/2} olyan (x, y, z) pozitív egészekből álló számhármas van, amelyre x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ N, ahol c > 0 alkalmas konstans. Vezessük le ebből, hogy van olyan egész, amelynek legalább egymillió felbontása van három négyzetszám összegére.

4. Igazoljuk, hogy van olyan szám, ami legalább 1997-féleképpen áll elő egy 100k + 11 alakú és egy 47k + 23 alakú prím összegeként. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be azt az állítást, amelyben az 1997, 100, 11, 47, 23 helyett „általános” számok szerepelnek.

5. Jelölje q_{n} az n-edik 4k − 1 alakú prímet. (Mivel egyenlő q_{8}?)

a) Mutassuk meg, hogy q_{n+1} ≤ 4q_{1}q_{2} … q_{n} − 1, és innen q_{n} ≤ 2^{2^{n}}.

b) Mutassuk meg a prímszámtétel felhasználása nélkül, hogy π_{4,3}(x) ≥ [log_{2} log_{2} x].

6^{∗}. Jelölje p_{n}^{a,b} az n-edik ak +b alakú prímszámot, ahol a, b rögzített, relatív prím egészek. Igazoljuk, hogy p_{n}^{a,b}/n log(n) → φ(a), ha n → ∞. (Vegyük észre, hogy π_{a,b}(p_{n}^{a,b}) = n, és alkalmazzuk a számtani sorozatok prímszámtételét.) Mutassuk meg ugyanezzel a módszerrel azt is, hogy az n-edik prímszám értéke „körülbelül” n log n.