Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Tizenegyedik alkalom

A Cardano-képlet. Az x^{3}+px+q = 0 egyenlet gyökeit a következőképpen határozhatjuk meg. Legyen D = (q/2)^{2} + (p/3)^{3} az egyenlet diszkriminánsa. Ha ε = cos 120^{∘} + i sin 120^{∘}, akkor ε primitív harmadik egységgyök, és ezért ha u jelöli a −q/2 + \sqrt{D} egyik (tetszőlegesen választott) köbgyökét, akkor a másik két köbgyök εu és ε^{2}u. Számítsuk ki hasonló módszerrel −q/2 − \sqrt{D} köbgyökeit is, és ezek közül jelölje v azt, amelyre uv = −p/3 teljesül. Ekkor a fenti harmadfokú egyenlet összes gyökei u + v, εu + ε^{2}v és ε^{2}u + εv (amelyek között egyenlők is lehetnek, mégpedig pontosan akkor, ha D = 0, vö. X/7. feladat).

1. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok között.

a) x^{3} − 6ix − i + 8 = 0. (A gyökök (1 + \sqrt{3}/2) + (1/2 + \sqrt{3})i, (1 − \sqrt{3}/2) + (1/2 − \sqrt{3})i, −2 − i, ehhez \sqrt{D} = ±(i/2 + 4), u = cos 30^{∘} + i sin 30^{∘}, v = 2(cos 60^{∘} + i sin 60^{∘}).)

b) x^{3} + 12x − 16i = 0. (D = 0, u = 2(cos 30^{∘} + i sin 30^{∘}), v = 2(cos 150^{∘} + i sin 150^{∘}), x^{3} + 12x − 16i = (x − 2i)^{2}(x + 4i), azaz a 2i kétszeres gyök.)

c) x^{3} − 21x + 20 = 0 (Számoljunk közelítőleg, scientific kalkulátorral végezve a trigonometrikus alakra való oda- és visszakonvertálást. Ekkor u = \overline{v} = \sqrt{7}(cos α + i sin α), ahol α ≈ 40.893^{∘}. Ha pontosan számolnánk ez 2 + i\sqrt{3} lenne. A gyökök 4, 1 és −5.)

2. Bontsuk ki a binomiális tétel alapján az (x + y)^{6} kifejezést.

3. Mutassuk meg, hogy ha p prímszám, és x, y ∈ ℤ, akkor (x + y)^{p} ≡ x^{p} + y^{p} (p).

4. Határozzuk meg π(30) értékét.

5. Mely pozitív egész n számokra igaz, hogy π(n + 6) = π(n) + 3?

6. Mutassuk meg, hogy π(x) monoton növekvő, és végtelenhez tart, ha x → ∞.

7. Igazoljuk, hogy x ≥ 8 esetén π(x) ≤ x/2.

8. Mutassuk meg, hogy ha a és b komplex számok, akkor az x + y = a, xy = b egyenletrendszer megoldásai éppen a z^{2} − az + b = 0 egyenlet megoldásai.

Gyakorló feladatok egységgyökökről

9. Írjuk fel a \sqrt{3} − i szám összes nyolcadik gyökét.

10. Határozzuk meg a primitív tizenkettedik egységgyökök összegét és szorzatát.

11. Írjuk fel az összes olyan huszonnyolcadik egységyököt, amelynek a rendje hét. Hány primitív huszonnyolcadik egységgyök van?

12. Szorozzuk össze a hatodik egységgyököket a negyedik egységgyökökkel az összes lehetséges módon. Hány különböző számot kapunk?

13. Mutassuk meg, hogy ha n > 0 egész, ε ∈ ℂ, és ε^{n} = i, akkor 4 | o(ε) ≠ ∞.

14. Mutassuk meg, hogy ha n páratlan pozitív egész, akkor a 2n-edik primitív egységgyökök épp az n-edik primitív egységgyökök ellentettjei. (Először kis n számokra ellenőrizzük).