Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Tizedik alkalom

1. Döntsük el, melyek egységgyökök az alábbi számok közül. Mennyi ezek rendje?

1 , −1 , i , 1 + i , (1 + i)/\sqrt{2} , cos(\sqrt{2}π) + i sin(\sqrt{2}π) , cos(336^{∘}) + i sin(336^{∘}) .

Mely n-ekre lesznek ezek a számok n-edik egységgyökök? És primitív n-edik egységgyökök? Írjuk fel az összes komplex 24-ik egységgyököt, és ezek rendjét.

2. Adjuk meg az x^{4} + 4 = 0, x^{6} = 1 + i, x^{n} = −1 egyenletek összes megoldását.

3. Számítsuk ki az n-edik egységgyökök összegét, szorzatát és négyzetösszegét.

4. Ha ε primitív 512-edik egységgyök, mennyi lehet o(−iε)?

5. Legyenek m és n pozitív egészek.

a) Hány közös gyöke van az x^{n} = 1 és x^{m} = 1 egyenleteknek?

b) Igazoljuk, hogy egy n-edik és egy m-edik egységgyök szorzata nm-edik egységgyök.

c) Mutassuk meg, hogy egy n-edik és egy m-edik primitív egységgyök szorzata akkor és csak akkor nm-edik primitív egységgyök, ha m és n relatív prímek.

6. Melyik természetes számmal egyenlő \sqrt[3]{7 + \sqrt{50}} + \sqrt[3]{7 − \sqrt{50}}?

7. Legyen p, q ∈ ℂ, D = (q/2)^{2} + (p/3)^{3}, u, v ∈ ℂ olyan, hogy p = −3uv, q = −(u^{3} + v^{3}); ε = cos 120^{∘} + i sin 120^{∘}, x_{1} = u + v, x_{2} = εu + ε^{2}v, x_{3} = ε^{2}u + εv. Bizonyítsuk be:

a) \overline{ε} = 1/ε = ε^{2} és 1 + ε + ε^{2} = 0.

b) x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} = p, x_{1}x_{2}x_{3} = −q.

c) (x − x_{1})(x − x_{2})(x − x_{3}) = x^{3} + px + q (és ezért x^{3} + px + q gyökei x_{1}, x_{2}, x_{3}).

d) (x_{1} − x_{2})^{2}(x_{1} − x_{3})^{2}(x_{2} − x_{3})^{2} = −108D. Ha p, q ∈ ℝ, akkor

e) D = 0 ⟺ u^{3} = v^{3}, és ilyenkor mindegyik x_{i} valós;

f) D > 0 esetén u és v választható valósnak, ekkor az egyik gyök valós, a másik kettő nem, de egymás konjugáltjai;

g) D < 0 esetén u és v mindenképpen egymás konjugáltjai, és ezért minden gyök valós.

Megoldás a IX. alkalom 9. feladatára. Legyenek a háromszög csúcsai A, B, C, ε = cos 120^{∘} + i sin 120^{∘}, η = cos 60^{∘} + i sin 60^{∘}. A szabályos hatszög felrajzolásából látjuk, hogy η = 1+ε. Ha X jelöli az AB oldalra kifelé rajzolt szabályos háromszög középpontját, akkor az \overrightarrow{XB} vektort 120 fokkal elforgatva az \overrightarrow{Y B} adódik, azaz (B−X)ε = A−X, ahonnan

X = \frac{A − Bε}{1 − ε} , és hasonlóan Y = \frac{B − Cε}{1 − ε} , Z = \frac{C − Aε}{1 − ε} .

Azt kell belátni, hogy az \overrightarrow{XY} vektort 60^{∘}-kal elforgatva az \overrightarrow{XZ}-t kapjuk, azaz (Y − X)η = (Z − X). A fentieket behelyettesítve és 1 − ε-nal szorozva:

((B − Cε) − (A − Bε)) η = (C − Aε) − (A − Bε) .

Beírva, hogy η = 1 + ε, és átrendezve

A((−1 − ε + ε + 1) + B(1 + ε + ε(1 + ε) − ε) + C(−ε(1 + ε) − 1) = 0 .

Ez pedig teljesül, mert 1 + ε + ε^{2} = 0 (mint a hatszögről leolvasható), és így A, B és C együtthatója is nulla.