Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Első alkalom

1. Vezessük le az alábbi két azonosságot a mértani sor összegképletéből, és a második képletet az elsőből.

a^{n} − b^{n} = (a − b)(a^{n−1} + a^{n−2}b + a^{n−3}b^{2} + ⋯ + ab^{n−2} + b^{n−1})
a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a + b)(a^{2n} − a^{2n−1}b + − ⋯ + b^{2n}) .

2. Mutassuk meg, hogy 2^{111111} −1 összetett szám. Hogyan lehet általánosítani az állítást?

3. Mutassuk meg, hogy 2^{111111} + 3^{111111} osztható 35-tel.

4. Mutassuk meg, hogy 2^{3072} + 1 összetett szám. Hogyan lehet általánosítani az állítást?

5. Bizonyítsuk be a 9-cel és 11-gyel való oszthatóság ismert két szabályát a 10-es számrendszerben. Hogyan lehet ezeket a szabályokat tetszőleges, g alapú számrendszerre általánosítani?

6. A közönséges 8 × 8-as sakktáblából kivesszük az egyik átló két végpontján lévő két sarokkockát. Lefedhető-e a kapott alakzat 2 × 1-es dominókkal?

7. Igazoljuk, hogy egy m × m-es sakktábla akkor és csak akkor fedhető le k × 1-es dominókkal, ha k osztója m-nek.

8. Megoldható-e az egész számok körében az x^{2} + 5y = 1002 egyenlet?

9. A modulo 5 maradékok vizsgálatával mutassuk meg, hogy a^{5} − a minden egész a-ra osztható 5-tel. Milyen a egészekre igaz, hogy a^{4} − 1 osztható 5-tel?

10. Fogalmazzuk meg, mit jelent a modulo 5 osztás művelete. Elvégezhető-e ez mindig? Mi a helyzet modulo 6?

11. Mutassuk meg a modulo 8 szorzástábla felhasználásával, hogy páratlan szám négyzete 8-cal osztva mindig 1 maradékot ad. Adjunk erre az észrevételre közvetlen bizonyítást is.

12. Adjunk meg olyan a és b egészeket, melyre 11a + 9b = 1. Véges vagy végtelen sok megoldás van?

13. Mely x egészekre teljesül, hogy 5 | x^{2} − 2x + 2? És az, hogy 7 | x^{2} − 2x + 2?

14. Mely x egészekre teljesül, hogy 101 | x^{2} − 2x + 2, illetve, hogy 101 | x^{2} − 13x − 3?

15. Melyek azok a p természetes számok, melyekre p, p+2 és p+4 mindegyike prímszám?

16. Igazoljuk, hogy ha p is és p^{2} + 2 is prímszám, akkor p^{3} + 4 is az. Igaz-e, hogy ha p is és p^{2} + 5 is prímszám, akkor p^{3} + 4 is az?

17. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket az egész számok körében.

a) x^{2} − 4y = 10.

b) x^{2} − 3y = 20.

c) x^{2} + 3y^{2} = 2z^{2}.

18. Igazoljuk, hogy a modulo m maradékképzés művelettartó leképezés, azaz összeg maradéka a maradékok modulo m vett összege, és szorzat maradéka a maradékok modulo m vett szorzata.