Matematikus gyakorlat, első évfolyam, első félév Második zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakvezér neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Van-e olyan egész együtthatós lineáris egyenletrendszer, ami ℚ felett ellentmondásos, ℤ_{2} felett egynél több megoldása van, és ℤ_{3} felett pontosan 1?

2. Legyen V a legfeljebb harmadfokú valós együtthatós polinomokból és a nullapolinomból álló vektortér ℝ felett az 1, 1+x, 1+x+x^{2}, 1+x+x^{2} +x^{3} bázissal, U pedig az ℝ feletti ℝ^{1×3} vektortér az (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) bázissal. Tekintsük azt az A : V → U lineáris leképezést, amelyre p ∈ V esetén A(p) = (p(1), p(−1), p(1) + p(−1)). Írjuk fel A mátrixát a megadott bázispárban (azt nem kell belátni, hogy ezek tényleg bázisok), és bontsuk fel a kapott mátrixot rangnyi számú diád összegére.

3. A sík lineáris transzformációinak vektorterében tekintsük azt az alteret, amit az összes nilpotens és az összes idempotens transzformációk együttvéve generálnak. Mennyi ennek a dimenziója?

4. Legyen V a legfeljebb 1997 fokú racionális együtthatós polinomokból és a nullapolinomból álló vektortér ℚ felett, és álljon U a V azon p elemeiből, amelyekre p(i) = 0 és p(1) = p(3). Mennyi lesz az U altér dimenziója? (Az i mint komplex szám értendő.)

5. Melyek azok a vektorterek, amelyekben bármely U, V, W alterekre igaz, hogy (U + V) ∩ W = (U ∩ W) + (V ∩ W)?

6. A véges dimenziós V vektortér mely alterei állnak elő ImA ∩ KerA alakban, ahol A lineáris transzformációja V -nek?