Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Kilencedik alkalom

Lineáris transzformáció mátrixának kiszámításakor fel szokás tenni, hogy a bázispár két tagja ugyanaz. Az alábbi vektorterek egy-egy természetesen adódó bázisát a „szokásos” bázisnak nevezzük: A T test feletti T^{n} vektortérben (n magas oszlopvektorok) azon e_{1}, …, e_{n} vektorok, melyekre e_{i}-nek az i-edik komponense 1, a többi komponens nulla. A T^{m×n} vektortérben azok a mátrixok, melyekben egyetlen komponens 1, a többi nulla (a sorfolytonosság sorrendjében tekintve). A T [x] legfeljebb n-edfokú elemeiből álló vektortérben az {1, x, x^{2}, …, x^{n}} bázis. A síkon ℝ felett az (1, 0), (0, 1) pontok. A ℂ -ben, mint ℝ feletti vektortérben az 1 és az i. Egy T testben, mint önmaga feletti vektortérben az egységelem.

1. Az alábbi A leképezéseknek adjuk meg a mátrixát a szokásos, illetve a megadott bázis(pár)ban, és határozzuk meg a kép- és magteret. Amelyek transzformációk is, azokról döntsük el, hogy nilpotensek, illetve idempotensek-e.

a) V_{1} és V_{2} a sík ℝ felett, A egy eltolás; egy pont körüli forgatás; egy egyenesre (pontra) való tükrözés; egy egyenesre való vetítés. A mátrixot csak az origó körüli α szögű forgatás; az y = x egyenesre való tükrözés; az erre az egyenesre való, függőleges vetítés esetében számítsuk ki, a szokásos, illetve a b_{1} = (1, 2), b_{2} = (−1, 1) bázisban.

b) V_{1} = V_{2} = ℂ az ℝ felett, A az a + bi komplex számmal való szorzás.

c) V_{1} = ℝ^{n}, V_{2} = ℝ az ℝ felett, A(v) a v komponenseinek az összege.

d) V_{1} = V_{2} = ℝ^{2×2} az ℝ felett, A a transzponálás (azaz a főátlóra való tükrözés).

e) V_{1} = ℝ[x] legfeljebb harmadfokú elemei, V_{2} = ℂ az ℝ felett, A(f) = f(i).

f) V_{1} = V_{2} = ℝ[x] legfeljebb n-edfokú elemei az ℝ felett, A(f) = f′ (derivált).

2. Ha egy lineáris transzformáció mátrixa egy adott bázisban M, mi lesz a mátrix akkor, ha mindegyik bázisvektort (csak az első bázisvektort) a kétszeresére növeljük? A sík mely lineáris transzformációinak lesz minden bázisban ugyanaz a mátrixa?

3. Van-e a síkon olyan nem nulla lineáris transzformáció, melynek négyzete nulla? Megoldható-e a kétszer kettes valós mátrixok körében az M^{2} = −E egyenlet?

4. Legyen A : V_{1} → V_{2} lineáris leképezés. Igazoljuk az alábbiakat.

a) Ha A szürjektív, akkor generátorrendszert generátorrendszerbe visz.

b) Ha A valamilyen halmazt generátorrendszerbe visz, akkor szürjektív.

c) Ha A injektív, akkor független halmazt függetlenbe visz.

d) Ha A egy bázist függetlenbe visz, akkor injektív.

5. Mutassuk meg, hogy ha A idempotens lineáris transzformáció a V vektortéren, akkor Im(A)+Ker(A) = V és Im(A)∩Ker(A) = {0}. Igazoljuk, hogy a sík egy lineáris transzformációja pontosan akkor idempotens, ha egy altérre való (nem feltétlenül merőleges) vetítés.

6. Alteret alkotnak-e a sík lineáris transzformációinak vektorterében azok a leképezések, melyek az y = x egyenest az x-tengely egy részébe képzik?

7. Legyen T test. Határozzuk meg a T^{m×n} dimenzióját T felett.

8. Legyen V véges dimenziós vektortér, A : V → V pedig egy lineáris transzformáció. Ha Im(A^{2}) = Im(A), következik-e ebből, hogy Ker(A^{2}) = Ker(A)? Igaz-e a megfordítás?

9^{∗}. Legyen A nilpotens, k × k-as mátrix. Igazoljuk, hogy A^{k} = 0.