Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Nyolcadik alkalom

1. Igazoljuk tetszőleges T test feletti V vektortérben az alábbi állításokat.

a) (∀λ ∈ T)(∀v ∈ V)(λv = 0_{V} ⟺ (λ = 0_{T} ∨ v = 0_{V})).

b) (∀v ∈ V)((−1_{T})v = −v).

2. Legyen V a T [x] mint T feletti vektortér. Alteret alkotnak-e a legfeljebb tizedfokú polinomok a nullvektorral együtt? És a páros fokú polinomok a nullvektorral együtt?

3. Igaz-e ℝ felett, hogy x ∈ ⟨x^{2} −1, x^{2} −2, 3x+2⟩? És ⟨x, x^{2} +2, x+2⟩ = ⟨1, x+1, x^{2} +1⟩?

4. Igazoljuk az alábbiakat.

a) Ha egy vektorrendszerben szerepel a nullvektor, akkor az nem lehet független.

b) {v} akkor és csak akkor független, ha v ≠ 0.

c) Ha {v_{1}, v_{2}, v_{3}} független, akkor {v_{1} + v_{2}, v_{2}, v_{3}} is független.

d) Páronként különböző fokú polinomok rendszere mindig független.

5. Legyen V egy n-dimenziós vektortér, és B ⊆ V. Igazoljuk az alábbi állításokat. a) B pontosan akkor bázis, ha a generátorrendszerek között tartalmazásra minimális.

b) B pontosan akkor bázis, ha a független rendszerek között tartalmazásra maximális.

c) Ha B elemszáma n, és független, akkor bázis.

d) Ha B elemszáma n, és generátorrendszer, akkor bázis.

e) Ha W altér V -ben, akkor dim W ≤ dim V, és egyenlőség csak úgy lehet, ha V = W.

6. Határozzuk meg az alábbi vektorterek dimenzióját.

a) A legfeljebb n-edfokú T feletti polinomok a T test felett.

b) A legfeljebb n-edfokú ℂ feletti polinomok ℝ felett.

c) Azon legfeljebb n-edfokú ℚ feletti polinomok ℚ felett, melyeknek 2 gyöke.

d) Az ℝ^{n} azon elemei ℝ felett, ahol az első koordináta is, a koordináták összege is 0.

7. Határozzuk meg a sík és a tér összes altereit.

8. Legyen V vektortér a T test felett.

a) Mi az üres halmaz által generált altér?

b) Mutassuk meg, hogy egy 1 elemmel generált altérnek legfeljebb két altere lehet.

c) Mutassuk meg, hogy két altér uniója akkor és csak akkor altér, ha az egyik tartalmazza a másikat.

d) Ha U_{1} és U_{2} alterek V -ben, akkor legyen U_{1} + U_{2} = {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}. Bizonyítsuk be, hogy ⟨U_{1} ∪ U_{2}⟩ = U_{1} + U_{2}.

e) Mutassuk meg, hogy ha U, V, W alterek egy vektortérben és U ⊇ V, akkor fennáll az úgynevezett moduláris összefüggés: U ∩ (W + V) = (U ∩ W) + V.

9. Legyen V véges dimenziós vektortér, és U, W ≤ V.

a) Mutassuk meg, hogy U bármely bázisa kiegészíthető V egy bázisává.

b) Igazoljuk, hogy van olyan U′ ≤ V, hogy U + U′ = V és U ∩ U′ = {0}.

c) Bizonyítsuk be, hogy dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W).

10. Mutassuk meg, hogy n ≥ 2 esetén minden ℝ feletti n-dimenziós vektortérnek végtelen sok n − 1-dimenziós altere van.